Matemática, perguntado por ctsouzasilva, 1 ano atrás

Vamos divertir?
A função f, de domínio mais amplo possível, é tal que $f(x)=\frac{ax+b-5}{ax+3b}$
Se f(3) não existe e f(-1) = 1, calcule o valor de a² + b².

Soluções para a tarefa

Respondido por DuarteME

Seja $f$ a função com domínio máximo dada por:

$f(x) = \dfrac{ax+b-5}{ax+3b},$

A única restrição a impor ao domínio é que o denominador não se anule:

$ax+3b \neq 0.$

Se $a = 0$ , então o denominador é apenas $3b$ . Assim a expressão é válida para todo o $x \in \mathbb{R}$ , tendo apenas de requerer:

$3b \neq 0 \iff b \neq 0.$

Se $a \neq 0$ , então vem:

$ax+3b \neq 0 \iff ax \neq -3b \iff x \neq -3\dfrac{b}{a},$

pelo que a expressão é válida para $x \in \mathbb{R}\setminus\left\{-3\dfrac{b}{a}\right\}.$

Uma vez que sabemos que $f(3)$ não existe, sabemos que $x=3$ corresponde ao «buraco» do domínio, ou seja:

$3 = -3\dfrac{b}{a} \iff \dfrac{b}{a} = -1 \iff b = -a.$

Por outro lado, sabemos que $f(-1) = 1$ , pelo que podemos substituir:

$f(-1) = 1 \iff \dfrac{a \times (-1) + b - 5}{a \times (-1) + 3b} = 1 \underset{b=-a}{\iff} \dfrac{-a -a - 5}{-a - 3a} = 1 \iff \\\\\iff \dfrac{-2a-5}{-4a} = 1 \iff 2a + 5 = 4a \iff 2a = 5 \iff a = \dfrac{5}{2}.$

Como tal, temos $a= \dfrac{5}{2}$ e $b = -a = -\dfrac{5}{2}$ , donde:

$a^2 + b^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 = 2 \times \dfrac{5^2}{2^2} = \dfrac{25}{2}.$

Verificamos que de facto aqueles valores de $a$ e $b$ dão a função desejada. Substituindo e multiplicando ambos os membros da fração por $2$ , temos:

$f(x) = \dfrac{\frac{5}{2}x - \frac{5}{2} - 5}{\frac{5}{2}x - 3 \times \frac{5}{2}} = \dfrac{5x-5-10}{5x-15} = \dfrac{5x-15}{5x-15} = 1,$

sendo a última simplificação válida desde que o denominador não se anule, ou seja, para:

$5x - 15 \neq 0 \iff 5x \neq 15 \iff x \neq 3.$

Verifica-se então que $f(3)$ não existe e $f(x) = 1, \, \forall x \neq 3$ , pelo que, em particular, $f(-1) = 1$ , tal como pretendido.

Resposta: $\boxed{a^2 + b^2 = \dfrac{25}{2}}.$

ctsouzasilva: bem mais simples do que fez.

DuarteME: Na verdade, o que propõe não é nem mais simples nem mais complexo do que o que fiz. É exatamente o mesmo. Simplesmente eu dividi em 2 passos (primeiro calculei x para ax + 3b = 0 => x = -3b/a), igualando depois x = 3 (3 = -3b/a => b = -a). Na sua resolução, começou por admitir desde logo x = 3 para o zero do denominador.

ctsouzasilva: A condição imposta que ax + 3b ≠ 0 , vai em contradição de que f(3) não existe. F(3) não existe é porque ax + 3b deve ser igual a zero e não diferente.

DuarteME: A condição tem de ser imposta porque o denominador não se pode anular. Dessa condição, resulta que x ≠ -3b/a, isto é, -3b/a não pertence ao domínio de f. De outra forma, significa que f(-3b/a) não existe. Sabendo que f(3) não existe, resulta que -3b/a = 3, donde segue a condição b = -a. Portanto a condição ax + 3b ≠ 0 não está em contradição com nada do que foi afirmado, antes pelo contrário.

vitoroliveiracpaw3ra: vc é muito inteligente

ctsouzasilva: Na sua resolução você concluiu que b = -a, é o mesmo que
3a + 3b = 0 -> b = -a. Você está entrando em contradição.

DuarteME: Recapitulando:

DuarteME: • inicialmente, usando apenas a forma da função e o facto de ter domínio máximo, calculei esse domínio. O mesmo corresponde ao conjunto de valores para os quais o denominador não se anula. Assim, D = {x ∈ ℝ: x ≠ –3b/a}.

DuarteME: • de seguida, usando o facto de f(3) não existir, concluiu-se que o domínio deve ser D = {x ∈ ℝ: x ≠ 3}. Comparando com o resultado anterior, fica claro que devemos ter –3b/a = 3 ⇔ –3b = 3a ⇔ b = –a

DuarteME: Como tal, não existe qualquer contradição no raciocínio. Espero que tenha ficado claro agora.

Respondido por mirelagomesalve

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Uma vez que f(3) não existe, nos induz a concluir que o denominador se anula ao substituir a variável por 3.

a.3 + 3b = 0

3a + 3b = 0

3b = -3a

b = -3a/3

b = -a

f(-1) = 1

$1=\frac{a(-1)-a-5}{a(-1)+3(-a)}\\\\1=\frac{-2a-5}{-4a}\\\\-2a-5=-4a\\\\4a-2a=5\\\\2a=5\\\\a=\frac{5}{2}\\\\b=\frac{-5}{2}\\\\a^{2}+b^{2}=\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$