Question

vamos agora encontrar a fraçao geratriz de 0,14141414

Answer 1

Todo número da forma 0,ababababababababababa.... tem como a sua fracao  
geratriz: ab/99
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0,1414141414141414...=14/99

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Ceciliana, que a resolução é simples.
Note que existe uma forma prática de encontrarmos frações geratrizes de qualquer tipo de dízimas periódicas.
Esta forma prática consiste em procurarmos multiplicar  as dízimas periódicas por potências de "10" capazes de, após algumas operacionalizações, fazer "desaparecer" o período (o período, nas dízimas periódicas,  é a parte que se repete. Daí o nome de "periódica").
Assim, vamos tomar a dízima periódica da sua questão e igualá-la a um certo "x". Assim teremos:

x = 0,141414........

Vamos multiplicar a dízima acima por "100", com o que ficaremos:

100*x = 100*0,141414...... ------ efetuando as multiplicações indicadas, temos:
100x = 14,141414.......

Agora note: se subtrairmos, membro a membro, "x" de "100x" teremos feito desaparecer o período (....141414.....). Veja:

100x = 14,14141414.....
.....-x = - 0,14141414.......
------------------------------ subtraindo membro a membro, ficaremos com:
99x = 14,0000000........ ou apenas:
99x = 14
x = 14/99 <--- Esta é a fração geratriz da dízima 0,14141414.....

Vamos apenas dar um exemplo em que teremos que multiplicar mais de uma vez uma dízima periódica dada por potências de "10".
Digamos que você esteja querendo saber qual é a fração geratriz da dízima periódica abaixo:

x = 1,123333333333........

Agora vamos tentar multiplicar "x' por potências de 10 que, depois, ao subtrair uma da outra, tenhamos feito desaparecer o período.
Vamos multiplicar primeiramente por "100", com o que ficaremos;

100*x = 100*1,123333333....
100x = 112,33333333......

Vamos também multiplicar "x" por "1.000", com o que ficaremos:

1.000*x = 1.000*1,1233333333.....
1.000x = 1.123,33333333.....

Agora vamos subtrair, membro a membro,  "100x" de "1.000x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período. Veja:

1.000x = 1.123,3333333.........
..- 100x = - 112,33333333......
-------------------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
900x = 1.011, 00000000....... --- ou apenas:
900x = 1.011
x = 1.011/900 ----- dividindo-se numerador e denominador por "3"", temos:
x = 337/300 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica 1,1233333.......

Por aí você já poderá concluir que o nosso método será para qualquer tipo de dízimas periódicas, ou seja, qualquer que seja a dízima periódica dada, a aplicação deste método será capaz de encontrar, com bastante facilidade,  a fração geratriz correspondente.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.