Question

valor máximo da função ƒ(x) = -2x4 - 3x + 5

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x ) = - 2x {}^{4} - 3x + 5$

Para encontrar o máximo dessa função, vamos usar o teste da derivada primeira e a segunda. Vamos começar fazendo a derivação dessa função:

$f'(x) = ( - 2x {}^{4} - 3x + 5)' \\ f'(x) = - 8x {}^{3} - 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos encontrar a derivada segunda, ou seja, derivar a derivada primeira:

$f''(x) = ( - 8x {}^{3} - 3)'' \\ f''(x) = - 24x { }^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pronto, tendo feito isso devemos ir atrás dos pontos que anulam a derivada primeira, ou seja, devemos igualá-la a "0":

$f'(x) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \\ - 8x {}^{3} - 3 = 0 \\ - 8x {}^{3} = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{3} = - \frac{3}{8} \: \: \: \: \: \: \\ x = \sqrt[3]{ - \frac{3}{8} } \: \: \: \\ x = - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \: \: \: \:$

Agora vamos pegar esse resultado e jogar na derivada segunda, dependendo do resultado vamos saber se essa função possui máximo, mínimo ou máximo e mínimo:

$f''(x) > 0 \to m \acute{i}nimo \\ f''(x) < 0 \to m \acute{a}ximo \\ \\ f''(x) = - 24x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f''\left( - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) = - 24.\left( - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) {}^{2} \\ f''\left( - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) = - 24.\left( \frac{ \sqrt[3]{9} }{4} \right) \: \: \: \: \: \: \\ f''\left( - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} \right) = - 6 \sqrt[3]{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Observe que o valor foi negativo, ou seja, essa função possui um máximo local em $x = - \frac{ \sqrt[3]{3} }{2}$ .

Espero ter ajudado