Question

Valor da integrau de 0 a pi sen x cos x dx é

Answer 1

$\large\mathsf{\int\limits_{0}^{ \pi}\sin(x).\cos(x)dx}$

$u=\cos(x)\rightarrow\,u=1\,se\,x=0</p><p>u=-1\,se\,x=\pi\\du=-\sin(x)dx$

$\mathsf{\int\limits_{0}^{ \pi}\sin(x).\cos(x)dx} = \mathsf{ - \int\limits_{1}^{ - 1}u.du}$

Invertendo os limites de integração para a integral ficar positiva temos

$\small\mathsf{\int\limits_{0}^{ \pi}\sin(x).\cos(x)dx} = \mathsf{ - \int\limits_{1}^{ - 1}u.du} = \mathsf{ \int\limits_{ - 1}^{ 1}u.du}$

Resolvendo a última integral temos

$\mathsf{ \int\limits_{ - 1}^{ 1}u.du} =\mathsf{ \frac{1}{2} {u}^{2} }\big|_{ - 1}^{1}$

$\frac{1}{2} .{1}^{2} -[ \frac{1}{2} {( - 1)}^{2} ] = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Logo

$\boxed{\boxed{\mathsf{\int\limits_{0}^{ \pi}\sin(x).\cos(x)dx=0}}}$