Question

Valor da integral ?

Answer 1

Nos limites dados:

$\int\limits {\frac{dy}{y}} =ln(y) + c$

Logo:

$\int\limits^e_1 { \int\limits^{0.5}_1 {\frac{ln x}{xy}} \, dy } \, dx = ln(0.5) \int\limits^{e}_1 {\frac{ln x}{x}} \, dx$

Como

$\int\limits {\frac{ln x}{x}} \, dx = \frac{ln^2x}{2} +C$

Temos:

$\int\limits^e_1 { \int\limits^{0.5}_1 {\frac{ln x}{xy}} \, dy } \, dx = ln(0.5) \int\limits^{e}_1 {\frac{ln x}{x}} \, dx = ln(0.5)/2 = -ln(2)/2$

Answer 2

e   1/2
∫   ∫     (1/y)* (ln x/x)  * dy * dx
1  1

e                          1/2
∫   [    ln y* (ln x/x) ]  * dx
1                           1

e                       
∫  (ln x/x)  * [    ln (1/2) - ln 1]  * dx
1             

e                       
∫  (ln x/x)  * [    ln (2⁻¹ - 0]  * dx
1        

e                       
∫  (ln x/x)  *  (-1)* ln (2)   dx
1 
              e
-ln (2) * ∫  (ln x/x)    dx       
            1

Por substituição, faça u=ln x  ==> du= (1/x) dx  ==> x*du =dx

              e
-ln (2) * ∫  u/x    x*du     
            1

              e
-ln (2) * ∫  u du   
            1

                       e
-ln (2) * [  u²/2]     
                     1

Como u =ln x , temos então:

                                  e
-ln (2) *(1/2)*  [  ln²x/2]     
                                  1

                               
-ln (2) *(1/2)*  [  ln² e  - ln²1]     

=-ln (2) *(1/2)*  [  1  - 0]     

=-ln (2) *(1/2)

=-ln(2)
   ------
     2

Letra C  é a resposta