Question

valendo 63 pontos so pra quem é bom em CALCULO I
calcule a derivada da função dada abaixo
$y= \frac{x-1}{u+1} , u=(x-1)^5$

Answer 1

derivada de u/v =  ___ ( vu' - uv')__
                                           v²
____x  - 1___ =  __[(x - 1)^5 + 1](1) -  (x - 1)[5(x - 1)^4(1)__
(x - 1)^5 + 1                               [(x - 1)^5 + 1]²

__[(x - 1)^5 + 1 - 5(x - 1)^5__  = ___1 -  4(x - 1)^5__
         [(x - 1)^5 + 1]²                        [(x - 1)^5 + 1]²

Answer 2

Vamos utilizar a regra do quociente para resolver a derivada no qual consiste em:
$(\frac{f}{g})'= \frac{gf'-fg'}{g^2}$

Para iniciar vamos calcular a derivada de u:
$u=(x-1)^5 \\ u'=5*(x-1)^4*(x-1)' \\ u'=5(x-1)^4*1 \\ u'=5(x-1)^4$

Agora aplicamos a regra do quociente:
$y= \frac{x-1}{u+1} \\ y'= \frac{(u+1)*(x-1)'-(x-1)*(u+1)'}{(u+1)^2}$
$y'= \frac{(u+1)*1-(x-1)*u'}{(u+1)^2} \\ y'= \frac{(u+1)-(x-1)*u'}{(u+1)^2}$

Agora substituindo u e u' teremos:
$y'= \frac{((x-1)^5+1)-(x-1)*(5*(x-1)^4)}{((x-1)^5+1)^2} \\ y'= \frac{(x-1)^5+1-5(x-1)^5)}{((x-1)^5+1)^2}$
Assim a resposta ficará:
$y'=\frac{1}{(x-1)^5+1} - \frac{5(x-1)^5}{((x-1)^5+1)^2}$