Question

VALENDO 50 PONTOS

(FEI) A soma das dimensões a, b e c de um paralelepípedo retângulo é m e a diagonal é d. Para a área total S, tem-se

A) S²= m²- d²
B) S = m²- d²
C) S = m²+ d²
D) S = m.d
E) S = d² - m²

Answer 1

Vamos começar escrevendo matematicamente as afirmações feitas.

--> "A soma das dimensões a, b e c de um paralelepípedo retângulo é m":

$\sf \boxed{\sf m~=~a~+~b~+~c}$

--> "a diagonal é d ": Lembrando que a diagonal em um paralelepípedo é dada pela soma do quadrado das dimensões.

$\boxed{\sf d~=~\sqrt{a^2~+~b^2~+~c^2}}$

Queremos então uma expressão para a área total desse paralelepípedo em função de "m" e "d". Vamos lembrar que, nesse sólido, temos *3 pares de faces, ou seja, temos 3 tamanhos de face e cada uma dessas possui uma face oposta a ela de mesmas medidas.

* No caso particular de teros as 3 dimensões iguais, as 6 faces terão mesmo tamanho. Neste caso, o paralelepípedo é chamado de cubo.

Sendo assim, considerando as dimensões dadas, teremos que a área total do sólido (S) é igual a:

$\sf S~=~2\cdot S_{Face_1}~+~2\cdot S_{Face_2}~+~2\cdot S_{Face_3}\\\\\\\sf S~=~2\cdot (a\cdot b)~+~2\cdot (a\cdot c)~+~2\cdot (b\cdot c)\\\\\\\boxed{\sf S~=~2ab~+~2ac~+2bc}$

Nesse ponto, observe que o próprio exercício nos dá a dica do que fazer. Note que as alternativas sugerem que "m", a soma das dimensões, "deve" ser elevado ao quadrado. Vamos fazer isso.

$\sf m^2~=~(a~+~b~+~c)^2\\\\\\\sf m^2~=~(a~+~b~+~c)\cdot (a~+~b~+~c)\\\\\\m^2~=~a\cdot a+a\cdot b+a\cdot c~+~b\cdot a+b\cdot b+b\cdot c~+~c\cdot a+c\cdot b+c\cdot c\\\\\\m^2~=~a^2+ab+ac~+~ab+b^2+bc~+~ac+bc+c^2\\\\\\\boxed{\sf m^2~=~a^2+b^2+c^2~+~2ab+2ac+2bc}\\\\\\Perceba~que~\boxed{\sf a^2+b^2+c^2=d^2}~e~\boxed{\sf 2ab+2ac+2bc=S},~logo:\\\\\\m^2~=~d^2~+~S\\\\\\\boxed{\sf S~=~m^2-d^2}~~\Rightarrow~Letra~B$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$