Question

(Valendo 50 pontos) Alguém poderia resolver essa questão pra mim?

Answer 1

Olá!

Temos:

$y = log_{x-2}\:(x^2-4x)$

Para que y exista, o valor de x deve ser:

$y = \frac{log\:x^2-4x}{log\:x-2}$

Se:

x² - 4x > 0
x(x-4) > 0 
x>0
ou
x-4>0
x>4

Se:

x-2>0
x>2

Se substituirmos o valor encontrado x>0, adotando 1.

$y = \frac{log\:(1^2-4*1)}{log\:(1-2)}$

$y = \frac{log\:(1-4)}{log\:(1-2)}$

$y = \frac{log\:-3}{log\:-2} \to \diagup\!\!\!\!\exists\Longleftarrow(n\~ao\:existe)$


Se substituirmos o valor encontrado x>4, adotando 5.

$y = \frac{log\:(5^2-4*5)}{log\:(5-2)} \to y = \frac{log\:(25-20)}{log\:(5-2)} \to y = \frac{log\:5}{log\:3} \toy \approx 1,46\to \exists\Longleftarrow(existe)$

Se substituirmos o valor encontrado x>2, adotando 3.

$y = \frac{log\:(3^2-4*3)}{log\:(3-2)}$

$y = \frac{log\:(9-12)}{log\:(3-2)}$

$y = \frac{log\:-3}{log\:1} \to \diagup\!\!\!\!\exists\Longleftarrow(n\~ao\:existe)$

Portanto, concluímos que para que Y exista o valor de X deve ser MAIOR que 4.

Resposta:
c) maior que 4

Answer 2

log(x-2) (x²-4x)  ...(x-2) é a base
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Condições de existência de um Logaritmo
log[a]  b  a>0  e b >0      ...[a] é a base
*****************************************

x²-4x >0     
Se x'<x''..Se a>0 ..concavidade voltada p/cima 
+++++(x')---------(x'')++++++++++..
Se a<0 ..concavidade voltada p/baixo
--------(x')++++++(x'')----------------
x(x-4)>0
Raízes:
para x=0    ==>x'=0 
para x-4=0  ==>x''=4

x'=0  e x''=4
a=1>0
++++++(0)--------(4)++++++++

base x-2>0 ==>x>2

Fazendo a intersecção entre os dois resultados, ficamos com:

0 > x >  4  ∩  x > 2    

Reposta:   x>4   ou x ∈ (4, +∞)