Question

Valendo 50 pontos!!!! Ajudaaaaaaaaa
Determine a taxa de variação máxima da função f(x,y,z) = ln(xy^4z^2) no ponto (2,-1,1).

Answer 1

➡️ A taxa de variação máxima é recorrida ao vetor gradiente, o que faz:

Estudos da taxa de variação máxima:

Recurso para a questão:

∂f(x,y,z) / ∂x

∂f(2,-1,1) / ∂x

➡️ Resolvendo a questão:

f(x,y,z) = In( xy⁴z²)

f(x) = 1/x

fx(2,-1,1) = 1/2

fx(2,-1,1) = 0,5

f(y) = 4/y

fy(2,-1,1) = 4/-1

fy(2,-1,1) = -4

f(z) = 2/z

fz(2,-1,1) = 2/1

fz(2,-1,1) = 2

∇f (2,-1,1) = (0,5,-4,2)

➡️ "A taxa de variação máxima ocorre nessa direção, donde o seu valor é igual ao modulo do vetor gradiente", portanto:

║∇f(2,-1,1) ║= √0,5² + (-4)² + 2² = √20,25

• Att. MatiasHP

Answer 2

• A taxa de variação máxima é de 9/2 ou 4,5.

Primeiramente, devemos aplicar a propriedade do logaritmo $\large\displaystyle\begin{aligned} \log_a(b\cdot c) = \log _a b+\log_ac\end{aligned}$. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} f(x,y,z)= \ln(xy^4z^2)\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} f(x,y,z)= \ln(x) + \ln (y^4) + \ln (z^2)\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \Leftrightarrow f(x,y,z)= \ln(x) + 4\ln (y) + 2\ln (z)\end{aligned}$

Agora, devemos aplicar o vetor gradiente. Dado por$\large\displaystyle\begin{aligned} \vec{\nabla} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z}\right) \end{aligned}$. Onde, após calcularmos as derivadas parciais, deveremos substituir no ponto (2,-1,1) e por fim calcular a taxa de variação máxima.

$\large\displaystyle\begin{aligned} \vec{\nabla} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z}\right) \Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial f }{\partial x} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2ln(z)\\\\ \frac{\partial f }{\partial y} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2ln(z)\\\\ \frac{\partial f }{\partial z} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2\ln(z)\end{cases}\end{aligned}$

• Calculando as derivadas parciais, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{\partial f }{\partial x} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2ln(z) = \boxed{ \frac{1}{x}} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{\partial f }{\partial y} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2ln(z) = \boxed{ \frac{4}{y}} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{\partial f }{\partial z} ( \ln (x) + 4\ln (y) + 2ln(z) = \boxed{ \frac{2}{z}} \end{aligned} }$

• Devemos agora substituir no ponto (2,-1,1), onde 2 = x ; -1 = y ; 1 = z. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \vec{\nabla} f(2,-1,1) = \left( \frac{1}{x}, \frac{4}{ y} , \frac{2}{ z}\right) \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \vec{\nabla} f(2,-1,1) = \left( \frac{1}{2}, \frac{4}{ -1} , \frac{2}{ 1}\right) \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\Leftrightarrow \vec{\nabla} f(2,-1,1) = \left( \frac{1}{2}, -4 , 2\right) \end{aligned}$

Pronto, agora devemos achar a taxa de variação máxima, que é dada por $\large\displaystyle\begin{aligned} ||\ \vec{v}\ || = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\end{aligned}$. Logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} ||\ V_{m\acute{a}x}\ || = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 + (-4)^2 + 2^2} \Leftrightarrow\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} || V_{m\acute{a}x}\ || = \sqrt{\frac{1}{4} + 16 + 4}\Leftrightarrow \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} ||\ V_{m\acute{a}x}\ || = \sqrt{\frac{81}{4}}\Leftrightarrow \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\Leftrightarrow \therefore\boxed{\boxed{\green{ ||\ V_{m\acute{a}x}\ || = \frac{9}{2}}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Vetor gradiente.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/38625973