Question

Valendo 35) Estabeleça o domínio de cada uma das funções dadas pelas leis seguintes:

$a)f(x) = \sqrt{ log_{2}(x - 3) }$
$b)g(x) = \frac{1}{ log_{ \frac{1}{2} }(x + 4) }$
$c)h(x) = \frac{x}{ \sqrt{ log_{ \frac{1}{3} }(2x) } }$

Answer 1

Basicamente, o domínio de uma função real segue os critérios de existência.

Se eu tenho f(x) = √x, então x ≥ 0, porque não existem raízes reais de números negativos.

Se eu tenho f(x) = 1/x, eu tenho x ≠ 0, pois não existe denominador igual a zero.

Basicamente essas são as regras, agora é só fazer:

$a) f(x) = \sqrt{log_2(x - 3)} \\ \\ D: log_2(x - 3) \geq  0 \\ D: (x - 3) \geq 2^0 \\ D: (x - 3) \geq 1  \\ D: x \geq 4$

Neste caso tinha um logaritmo e tinha que considerar as condições de existência dele, como a base maior que zero e diferente de 1, e o logaritmando maior que zero. A base é 2, então dá pra desconsiderar. O logaritmando:

x - 3 > 0

x > 3

A solução que encontramos foi

x ≥ 4

Então ela é válida.

D(f) {x ∈ IR/ x ≥ 4}

$b) g(x) = \frac{1}{log_{ \frac{1}{2} }(x + 4)} \\ \\ D: log_{ \frac{1}{2} }(x + 4) \neq 0 \\ \\ D: (x + 4) \neq (\frac{1}{2})^0 \\ D: (x + 4) \neq 1 \\ D: x \neq - 3$

Condições de existência do logaritmando:

x + 4 > 0

x > -4

Com x ≠ -3, temos:

D(f) {x ∈ IR/ x > -4 com x ≠ -3}

$c) h(x) = \frac{x}{\sqrt{log_{\frac{1}{3}}(2x)}}} \\ \\ \\ D: log_{\frac{1}{3}(2x)} > 0$

Como aqui temos uma raiz no denominador, o domínio segue as duas condições juntas (maior ou igual a zero e diferente de zero, tornando-se somente maior que zero):

$D: log_{\frac{1}{3}}(2x)} > 0 \\ \\ D: 2x > \frac{1}{3}^0 \\ \\ D: 2x > 1 \\ D: x > \frac{1}{2}$

Condições de existência do logaritmando:

2x > 0

x > 0/2

x > 0

Então:

D(f) {x ∈ IR/ x > 1/2}