Question

VALENDO 30 PONTOS!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Outra questão que, apesar de aparentar difícil, é trivial.

A questão afirma que existe um valor qualquer x=P na função f(x), tal que a função f(P) é positivo. Logo, há um intervalo [p-algo, p+algo] tal que a função é positiva em todo este intervalo.

Sabemos que f(p) é positivo. Basta imaginar que "algo" é algo pequeno, muito pequeno. Mesmo que estejamos pegando um valor P, e 0,1 unidades antes ou depois de P, a função é negativa. Podemos pegar um intervalo 0,01. Ou 0,001. Ou 0,000001 unidades. Você deve ter visto aonde quero chegar. Chamarei lambda de l. Queremos algum

$p-l < x < p+l \\ f(p-l) < f(x) < f(p+l) \\ \lim_{l\to0-}f(p-l)< L <\lim_{l\to0+}f(p+l})$

Claro que isso resultará em L<L<L, no limite em si, mas, o que isso quer dizer é, como o limite em x-> P existe e é igual a L, quer dizer que há pontos infinitesimalmente próximos a P, à direita e à esquerda, que podemos pegar, e que serão infinitesimalmente próximos ao valor de L(mas não serão L), tal que se L é positivo com certeza estes valores também serão positivos.

Veja este gráfico da função f(x) = -x²+0.001: https://www.symbolab.com/graphing-calculator?functions=f(x)=-x%5E%7B2%7D%2B0.001

Quando x=0, f(x)=0.001, que é positiva. Porém, se x = +-raiz(0.001), f(x)≤0. Sabemos que raiz de 0,001 é um número extremamente pequeno. Mas, no limite de 0, existe 2 pontos x=0+algo e x=0-algo, tal que, algo<raiz(0.001), a função ainda é positiva. Basta observar o gráfico e verá. Bons estudos.

Answer 2

Sabemos que f(p) é positivo. Basta imaginar que "algo" é algo pequeno, muito pequeno. Mesmo que estejamos pegando um valor P, e 0,1 unidades antes ou depois de P, a função é negativa. Podemos pegar um intervalo 0,01. Ou 0,001. Ou 0,000001 unidades. Você deve ter visto aonde quero chegar. Chamarei lambda de l. Queremos algum

Claro que isso resultará em L<L<L, no limite em si, mas, o que isso quer dizer é, como o limite em x-> P existe e é igual a L, quer dizer que há pontos infinitesimalmente próximos a P, à direita e à esquerda, que podemos pegar, e que serão infinitesimalmente próximos ao valor de L(mas não serão L), tal que se L é positivo com certeza estes valores também serão positivos.

ou seja a resposta ainda é positiva