Question

Valendo 30 pontos

1. (FEI–SP) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2√29 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 24
b) 24√29
c) 116
d) 164
e) 192

Ao responder, pfv, me expliquem a necessidade de calcular a diagonal, no que isso influencia na hora do cálculo. Please​

Answer 1

Resposta:

letra E

Explicação:

Olá!

Observe no anexo que a diagonal do paralelepípedo forma, com a diagonal da base e com a altura do sólido, um triângulo retângulo.

Observe que a questão nos informou a medida da diagonal e também nos disse que os lados do paralelepipedo têm medidas proporcionais a 2, 3 e 4.

Assim podemos concluir que a medidas reais dos lados divididas por um número x resultam em 2, 3 e 4. Logo as medidas são iguais a 2x, 3x e 4x.

Para calcular o valor de x podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado

pela diagonal da base com os lados do retângulo da base e depois aplicamos novamente esse Teorema no triângulo formado pela diagonal da bese, a diagonal do sólido e a altura.

Assim:

${(4x)}^{2} + {(3x)}^{2} = {d}^{2} \\ \\ 16 {x}^{2} + 9 {x}^{2} = {d}^{2} \\ \\ 25 {x}^{2} = {d}^{2} \\ \\ d = 5x$

A medida da diagonal da base é 5x. Dessa forma:

${(5x)}^{2} + {(2x)}^{2} = {(2 \sqrt{29} )}^{2} \\ \\ 29x {}^{2} = {(2 \sqrt{29} )}^{2} \\ \\ x \sqrt{29} = 2 \sqrt{29} \\ \\ x = 2$

Observe que o valor que dividiu a medida dos lados de formas que eles fossem proporcionais a 2, 3 e 4 foi o número 2.

Assim sabemos que a medida real dos lados é 4cm, 6cm e 8cm.

Resta-nos calcular o volume do paralelepípedo:

$v = 4 \times 6 \times 8 \\ \\ v = 192 {cm}^{3}$

A medida da diagonal nos permitiu encontrar o número que dividiu a medida das arestas tornando -as proporcionais a 2, 3 e 4.

Espero ter ajudado :/

Boa sorte!

Answer 2

Observe no anexo que a diagonal do paralelepípedo forma, com a diagonal da base e com a altura do sólido, um triângulo retângulo.

Observe que a questão nos informou a medida da diagonal e também nos disse que os lados do paralelepipedo têm medidas proporcionais a 2, 3 e 4.

Assim podemos concluir que a medidas reais dos lados divididas por um número x resultam em 2, 3 e 4. Logo as medidas são iguais a 2x, 3x e 4x.

Para calcular o valor de x podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado

pela diagonal da base com os lados do retângulo da base e depois aplicamos novamente esse Teorema no triângulo formado pela diagonal da bese, a diagonal do sólido e a altura.

Assim:

A medida da diagonal da base é 5x. Dessa forma:

Observe que o valor que dividiu a medida dos lados de formas que eles fossem proporcionais a 2, 3 e 4 foi o número 2.

Assim sabemos que a medida real dos lados é 4cm, 6cm e 8cm.

Resta-nos calcular o volume do paralelepípedo:

A medida da diagonal nos permitiu encontrar o número que dividiu a medida das arestas tornando -as proporcionais a 2, 3 e 4.