Question

valendo 20 pontos
O valor da expressão é igual a :

Answer 1

Vamos lá! !!
Somando os expoentes de cima e de baixo conservando a base temos :
i^-243 /i^-153
Vamos subtrair
I^(-243-(-153)
i^(-243+153)
I^(-110)
Tudo isso deu i^-110

Answer 2

Inicialmente, vamos encontrar relações importantes quanto às potências da unidade imaginária que serão úteis não só nesta questão, mas também em várias outras.

Veja o valor de $i^4$:
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\Longrightarrow i^4=1$

Como encontramos um valor bastante conveniente para a 4ª potência de i, vamos tentar encontrar os valores das outras de suas potências, baseando-nos no resto que o expoente deixa na divisão por 4, justamente. Para um expoente da forma:

→ 4k)
$i^{4k}=(i^4)^k=1^k=1\Longrightarrow i^{4k}=1$

→ 4k+1)
$i^{4k+1}=i^{4k}\cdot i^1=(i^4)^k\cdot i=1^k\cdot i=1\cdot i=i\\\Longrightarrow i^{4k}=i$

→ 4k+2)
$i^{4k+2}=i^{4k+1}\cdot i^2=(i^4)^k\cdot (-1)=1^k\cdot (-1)=1\cdot (-1)=-1\\\Longrightarrow i^{4k+2}=-1$

→ 4k+3)
$i^{4k+3}=i^{4k}\cdot i^3=(i^4)^k\cdot i^3=1^k\cdot i^2\cdot i=1\cdot (-1)\cdot i=-i\\\Longrightarrow i^{4k}=-i$

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Agora sim, vamos encontrar o valor da expressão E dada:

$E=\dfrac{i^{100}+i^{143}}{i^{82}-i^{71}}=\dfrac{i^{4\cdot25}+i^{4\cdot35+3}}{i^{4\cdot20+2}-i^{4\cdot17+3}}\\\\ E=\dfrac{(i^{4})^{25}+i^{4\cdot35}\cdot i^3}{i^{4\cdot20}\cdot i^2-i^{4\cdot17}\cdot i^3}=\dfrac{(1)^{25}+(i^{4})^{35}\cdot i^3}{(i^4)^{20}\cdot i^2-(i^4)^{17}\cdot i^3}\\\\ E=\dfrac{1+(1)^{35}\cdot (-i)}{(1)^{20}\cdot (-1)-(1)^{17}\cdot (-i)}=\dfrac{1+1\cdot (-i)}{1\cdot (-1)-1\cdot (-i)}\\\\ E=\dfrac{1-i}{-1+i}=-\dfrac{1-i}{1-i}=-1\\\\ \boxed{E=-1}$