Question

Valendo 15 pontos urgente para amanhã

Answer 1

a) $3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}=0$

Como $x$ aparece no denominador, temos que a condição de existência para esta equação é $x\neq 0.$ Por isso, podemos multiplicar os dois lados da equação por $x^{2}:$

$x^{2}\cdot \left(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}} \right )=x^{2}\cdot 0\\ \\ \\ 3x^{2}+2x-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=3\\b=2\\c=-1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot (-1)\\ \\ \Delta=4+12\\ \\ \Delta=16\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{-2\pm 4}{2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (-1\pm 2)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}\\ \\ \\ x=\dfrac{-1\pm 2}{3}$

$\begin{array}{rcl} x=\dfrac{-1-2}{3}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-1+2}{3}\\ \\ x=\dfrac{-3}{3}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{1}{3} \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{crclc} \\&x=-1&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{1}{3}&\\ \\ \end{array}}$


b) $(2x-1)^{2}=(x+15)^{2}$

Se o quadrado de dois números são iguais, então eles possuem o mesmo módulo. Isto é,

$|2x-1|=|x+15|\\ \\ 2x-1=\pm(x+15)\\ \\ 2x-1=\pm x\pm 15\\ \\ 2x\mp x=\pm 15+1\\ \\ \begin{array}{rcl} 2x+x=-15+1&\;\text{ ou }\;&2x-x=+15+1\\ \\ 3x=-14&\;\text{ ou }\;&x=16 \end{array}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{crclc}\\ &x=-\dfrac{14}{3}&\;\text{ ou }\;&x=16&\\\\ \end{array} }$


c) $x\,(x+1)=30$

$x^{2}+x=30\\ \\ x^{2}+x-30=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=1\\c=-30 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=1^{2}-4\cdot 1 \cdot (-30)\\ \\ \Delta=1+120\\ \\ \Delta=121\\ \\ \\ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{121}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ x=\dfrac{-1 \pm 11}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{-1-11}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-1+11}{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{-12}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{10}{2}\\ \\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{crclc} \\&x=-6&\;\text{ ou }\;&x=5&\\ \\ \end{array}}$


d) $x\,(x-3)+2=-6x$

$x^{2}-3x+2=-6x\\ \\ x^{2}-3x+6x+2=0\\ \\ x^{2}+3x+2=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=3\\c=2 \end{array} \right.$

$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot 2\\ \\ \Delta=9-8\\ \\ \Delta=1\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ x=\dfrac{-3\pm 1}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{-3-1}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-3+1}{2}\\ \\ x=\dfrac{-4}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{-2}{2} \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{crclc} \\&x=-2&\;\text{ ou }\;&x=-1&\\ \\ \end{array}}$