Question

VALENDO 15 PONTOS!!
Qual dos seguintes números devemos somar à expressão 4x2 + 12x + 5 para que o resultado seja um quadrado perfeito?

Answer 1

Considere a expressão: $4x^2 + 12x + 5$

Se ela corresponder a um quadrado perfeito poderá ser expressa na forma $(a+b)^2$.

Veja que "a" é obtido pela raiz quadrada de 4x² que é 2x

Assim a expressão começa a ser formada:  $(2x+b)^2$

Falta o "b". Determinamos o b considerando o termo intermediário: 2.a.b = 12x

Como já sabemos o valor de "a", teremos:  2. 2x.b=12x, de onde:

4b=12
b=3

Mas b²=3²=9,  logo precisamos adicionar 4 ao 5 existente na expressão para formar $2x^2+12x+9=(2x+3)^2$

Answer 2

Pense comigo:  Um quadrado perfeito é o quad do primeiro+ o quad do segundo + 2 vezes o primeiro termo vezes o segundo termo.

Para transformar aquela expressao em quadrado perfeito, os numeros das pontas devem ser quadrados perfeitos, ou seja, se eu fizer a redução para a potencia (a+b)² tem que dar uma fração certa.  o 5 nao é um quadrado perfeito, é um numero primo, mas o primeiro é, pois se eu retirar a raiz quadrada de 4x² é um numero inteiro igual a 2x.

Para essa expressao ser um quadrado perfeito o numero do meio (12x) deve ser igual 2 vezes o a raiz quadrada do primeiro termo vezes o segundo termo, mas o 5 é um numero primo, nao tem raiz exata, entao devemos somar algo para que ele vire um quadrado perfeito.

12x= 2 . 2x. N    em que N é um numero que fará com que a expressao vire um quadrado perfeito  
Resolvendo : N= 3,  ou seja 3 é o resultado da raiz quadrada do ultimo termo, entao o ultimo termo tem que ser 9,   como eu ja tenho 5, preciso somar 4 à essa expressao para que ela seja um quadrado perfeito