Question

VALE 12 PONTOS.
No retângulo, x e y são as medidas. Calcule o valor numérico da expressão 4 x^{2} y+4xy^{2}, sabendo que o perímetro do retângulo é 44 e a sua área é 96.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Slopes, que a resolução é simples.
Tem-se que as medidas de um retângulo são "x" e "y", ou seja: "x" é o comprimento e "y" é a largura (ou altura).
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como o perímetro (P) de um retângulo é dado por 2 vezes o comprimento + 2 vezes a largura (ou altura), então teremos que:

P = 2x + 2y ---- como o perímetro já foi dado e que é igual a 44, teremos:
44 = 2x + 2y --- dividindo-se ambos os membros por "2", teremos:
22 = x + y --- vamos apenas inverter, ficando:
x + y = 22
x = 22-y       . (I)

ii) Como a área (A) de um retângulo é dada por comprimento vezes a largura (ou altura), então teremos que:

A = x*y ---- substituindo-se a área (A) por 96, teremos:
96 = x*y --- ou, invertendo-se:
xy = 96       . (II)

iii) Agora vamos substituir, na expressão (II) acima,o valor de "x" por "22-y", conforme vimos na expressão (I).
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

xy = 96 ------- substituindo-se "x' por "22-y", teremos:
(22-y)*y = 96 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
22y - y² = 96---- passando todo o 1º membro para o 2º, ficamos:
0 = 96 - 22y + y² ---- vamos apenas inverter e ordenar, ficando:
y² - 22y + 96 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = 6
y'' = 16

Agora vamos na expressão (I), que é esta:

x = 22 - y ----- para y = 6, teremos:
x = 22 - 6
x = 16.

e

x = 22 - y ---- para y = 16, teremos:
x = 22 - 16
x = 6.

Assim, como você vê, é indiferente considerarmos y = 6 e x = 16, ou y = 16 e x = 6. Como, normalmente, o comprimento (x) é maior que a largura (y), então vamos considerar assim:

x = 16 e y = 6  <--- Estes são as dimensões do retângulo.

v) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é calcular o valor numérico da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "m", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

m = 4x²y + 4xy² ----- substituindo-se "x" por "16" e"y" por "6", teremos:
m = 4*16²*6 + 4*16*6²
m = 4*256*6 + 4*16*36
m = 6.144 + 2.304
m = 8.448 <--- Esta é a resposta. Este é o valor numérico da expressão da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.