Question

UUm topógrafo, querendo conhecer a altura de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é desconhecida. os ângulos BÂC= 30º e BÊC= 60 altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi?

Answer 1

Acompanhe o raciocínio da figura anexa:
Os pontos citados no enunciado estão representados nos triângulos:
AEC = conhecemos o lado AE (20 m) e o ∡ EAC = ∡ BAC = 30º
BEC = conhecemos o ângulo BEC (60º) e queremos obter o cateto BC (altura do penhasco).

Vamos começar pelo triângulo AEC:
- Conhecemos o lado AE = 20 m
- Conhecemos o ângulo BAC que é igual ao ângulo EAC = 30º
- Conhecemos o ângulo AEC que é externo ao ângulo BEC (60º):
∡ AEC = 180º - ∡ BEC
∡ AEC = 180º - 60º
∡ AEC = 120º
- Então, conhecemos o ângulo ACE, pois a soma dos ângulos internos do triângulo ACE é igual a 180º:
∡ ACE = 180º - 30º - 120º
∡ ACE = 30º
Então, concluímos que o triângulo ACE é isósceles e os lados AE e EC são congruentes:
EC = 20 m

Agora, vamos considerar o triângulo BEC:
- Conhecemos o ângulo BEC = 60º
- Conhecemos a hipotenusa EC = 20 m
- Queremos obter o valor do cateto oposto ao ângulo de 60º (BC = x = altura do penhasco).
Aplicando-se então a função trigonométrica seno ao ângulo BEC, obtemos:
sen BEC = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = BC ÷ EC
BC = sen 60º × EC
BC = 0,866 × 20 m
BC = 17,32 m

R.: A altura do penhasco é igual a 17,32 m

Answer 2

A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi 10√3 m.

Explicação:

Pela figura, nota-se que 60° é um ângulo externo ao triângulo ACE.

Assim, pelo teorema do ângulo externo, sabemos que sua medida corresponde à soma dos ângulos não adjacentes a 60°. Logo:

30° + x = 60°

x = 60° - 30°

x = 30°

Portanto, o triângulo ACE é isósceles, com AE = CE.

Então, CE também mede 20 m.

No triângulo retângulo BCE, podemos utilizar a relação seno para determinar a altura h, já que temos a medida da hipotenusa (CE) e queremos saber a medida do cateto oposto a 60° (BC).

seno θ = cateto oposto

                 hipotenusa

seno 60° = h

                 CE

√3 = h

 2     20

2·h = 20·√3

h = 20·√3

         2

h = 10√3 m

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