Question

Utilize o Teorema de Laplace e assinale a alternativa que contém o valor do determinante da matriz quadrada de ordem 4 a seguir:
|-1 2 3 -4|
A= |4 2 0 0 |
|-1 2 -3 0|
| 2 5 3 1 |

a) 372
b)-252
c) 252
d) -372
e) 0

OBS: PRECISO COM A RESOLUÇÃO COMPLETA SE PUDEREM ME AJUDAR FIQUEI GRATO OBGD!!​

Answer 1

Com o estudo do teorema de Laplace temos como resposta letra b)-252

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila, linha ou coluna, pelos seus respectivos cofatores. Antes de aplicarmos o teorema, é necessários revisarmos alguns conceitos.

Matriz reduzida

Dada uma matriz quadrada A, a matriz reduzida Aij é obtida eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz A. Exemplo: Seja a matriz

$A=\begin{pmatrix}-1&2&7\\ 3&-6&2\\ 2&5&1\end{pmatrix}$

a matriz reduzida $A_{13}$ é obtida eliminando-se a primeira linha e a terceira coluna da matriz A.

$A_{13}=\begin{pmatrix}3&-6\\ 2&5\end{pmatrix}$

Cofatar

Dada uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2, chama-se cofator de um elemento aij de A o número $c_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}\cdot \left|A_{ij}\right|$, sendo Aij a matriz reduzida obtida a partir de A eliminando-se a linha i a coluna j. Exemplo: Calcular o cafator do elemento a23 da matriz A, utilizada no exemplo anterior.

$A=\begin{pmatrix}-1&2&7\\ 3&-6&2\\ 2&5&1\end{pmatrix}$

$c_{23}=\left(-1\right)^{2+3}\cdot \left|A_{23}\right|=\left(-1\right)^5\cdot \left|\begin{pmatrix}-1&2\\ 2&5\end{pmatrix}\right|$

$c_{23}=\left(-1\right)\left[\left(-1\right)\cdot 5-\left(2\cdot 2\right)\right]=\left(-1\right)\left(-5-4\right)=9$

Portanto, o cofator do elemento a23 da matriz A é 9.

Calculando o determinante pelo teorema de Laplance

Para calcular o determinante da matriz A, utilizada anteriormente, é preciso

• escolher uma fila(linha ou coluna);
• calcular os cofatores dos elementos dessa fila;
• somar o produto de cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator.

Escolhendo a terceira coluna

$det\:A=a_{13}\cdot c_{13}+a_{23}\cdot c_{23}+a_{33}\cdot c_{33}$

$det\:A=7\cdot \left(-1\right)^{1+3}\cdot \left|\begin{pmatrix}3&-6\\ 2&5\end{pmatrix}\right|+2\cdot \left(-1\right)^{2+3}\cdot \left|\begin{pmatrix}-1&2\\ 2&5\end{pmatrix}\right|+1\cdot \left(-1\right)^{3+3}\cdot \left|\begin{pmatrix}-1&2\\ 3&-6\end{pmatrix}\right|$

$det\:A=7\cdot 27+\left(-2\right)\cdot \left(-9\right)+1\cdot 0=207$

Agora podemos calcular a matriz do exercício proposto, realizando cada passa exatamente, igual encontraremos como resposta a letra b)-252

Saiba mais sobre o teorema de laplace:https://brainly.com.br/tarefa/11811281

#SPJ1