Question

utilize o teorema de green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{8\pi}$

Explicação passo-a-passo:

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O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada e a integral dupla da região delimitada pela curva. Podemos escrever:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle \oint_CP(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\iint_R\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\,dA}}$

1. Faça a parametrização da curva:

$\mathsf{x=r\,cos\,\theta}\\\\\mathsf{y=r\,sen\,\theta}\\\\\mathsf{z=\sqrt{(r\,cos\,\theta)^2+(r\,sen\,\theta)^2}=r}$

2. Determine os limites de integração:

$\mathsf{0\leq r \leq2}\\\\\mathsf{0\leq \theta \leq2\pi}$

3. Calcule as derivadas parciais:

$\mathsf{P(x,y)=y}\quad\rightarrow\quad\mathsf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=1}\\\\\mathsf{Q(x,y)=3x}\quad\rightarrow\quad\!\!\!\!\mathsf{\dfrac{\partial Q}{\partial x}=3}$

4. Agora, aplique o Teorema de Green:

$\mathsf{\displaystyle \oint_Cy\,dx+3x\,dy=\int_0^{2\pi}\int_0^2\bigg(3-1\bigg)\,dr\,d\theta}$

$=\mathsf{\displaystyle 2\int_0^{2\pi}\bigg(\int_0^2\,dr\bigg)\,d\theta=2\int_0^{2\pi}2\,d\theta}\\\\\\=\mathsf{4\displaystyle \int_0^{2\pi}d\theta=4\cdot(2\pi)}\\\\\\=\mathsf{8\pi}$

Conclusão: o valor da integral de linha procurada é 8π.

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Teorema de Green

https://brainly.com.br/tarefa/34115504

Bons estudos! :D

Equipe Brainly