Question

Utilize a trigonometria para calcular: Sen 42°

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Considere as equações:

1) Sen (2x) = 2(Sen x . Cos x)

2) Cos (2x) = 1 -2Sen² x

3) sen² x + cos² x = 1

4) Sen (a - b) = Sen a . Cos b - Sen b . Cos a

5) Sen a - Sen b = 2[Cos (a - b)/2 . Sen (a + b)/2]

Sen 42° = Sen (60° - 18°)

Sen 42° = Sen 60° . Cos 18° - Sen 18° . Cos 60°

Sen 18° = Cos 72°

Cos 18° = Sen 72°

Sen (2x) = 2(Sen x . Cos x)

Sen 72 = 2(Sen 36° . Cos 36°)

Sen 72° = 2(2(Sen 18° . Cos 18°) . Cos 36°)

Sen 72°/Cos 18° = 4 . Sen 18° . Cos 36°

Como Sen 72° = Cos 18°, Então:

4 . Sen 18° . Cos 36° = 1

Divida a equação por 2:

2 . Cos 36° . Sen 18° = 1/2

Sen a - Sen b = 2[Cos (a - b)/2 . Sen (a+b)/2]

Monte o sistema:

(a - b)/2 = 36

(a + b)/2 = 18

a = 54

b = 18

Sen 54° - Sen 18° = 2[Cos 36 . Sen 18°] = 1/2

Sen 54° - Sen 18° = 1/2

Sen 54° = Cos 36°

Sen 36° = Cos 54°

Cos 36° - Sen 18° = 1/2

cos (2x) = 1 - 2Sen² x

Cos 36 = 1 - Sen² 18

1 - 2Sen² 18 - sen 18 = 1/2

Considere que Sen 18 = k

1 - 2k² - k = 1/2

-4k² - 2k + 1 = 0

∆ = b² - 4ac

∆ = (-2)² - 4 . (-4) . 1

∆ = 4 + 16

∆ = 20

$k = \frac{ - ( - 2) + - \sqrt{20} }{2( - 4)} \\ k = \frac{2 + - 2 \sqrt{5} }{ - 8} \\ k = \frac{1 + - \sqrt{5} }{ - 4} \\ k1 = \frac{1 + \sqrt{5} }{ - 4} = - \frac{1 + \sqrt{5} }{4} = \frac{ \sqrt{5} - 1}{4} \\ k2 = \frac{1 - \sqrt{5} }{ -4} = - \frac{ 1 - \sqrt{5} }{4} = \frac{ - \sqrt{5} - 1}{4}$

Como o seno no 1° quadrante é positivo então:

Sen 18° > 0

Logo, K2 não serve como solução.

Sen² a + Cos² a = 1

Sen² 18° + Cos² 18° = 1

${ \cos }^{2} (18) = 1 - ( { \frac{ \sqrt{5} - 1 }{4} })^{2} \\ { \cos }^{2} (18) = 1 - \frac{ {( \sqrt{5} - 1) }^{2} }{ {4}^{2} } \\ { \cos }^{2} (18) = 1 - \frac{( { \sqrt{5} }^{2} - 2 \sqrt{5} \times 1 + {1}^{2} ) }{16} \\ { \cos }^{2} (18) = 1 - \frac{5 - 2 \sqrt{5 } + 1 }{16} \\ { \cos }^{2} (18) = \frac{16 - 6 - 2 \sqrt{5} }{16} = \frac{10 - 2 \sqrt{5} }{16} \\ { \cos }^{2} (18) = \frac{5 - \sqrt{5} }{8} \\ \cos(18 ) = ± \sqrt{ \frac{5 + \sqrt{5} }{8} } \\ \cos(18) = + \frac{ \sqrt{10 + 2 \sqrt{5} } }{4}$

Então:

Sen 42° = Sen (60° - 18°)

Sen 42° = Sen 60° . Cos 18° - Sen 18° . Cos 60°

$\sin(42) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{ \sqrt{10 + 2 \sqrt{5} } }{4} - \frac{ \sqrt{5} - 1}{4} \times \frac{1}{2} \\ \sin(42) = \frac{ \sqrt{30 + 6 \sqrt{5} } - \sqrt{5} + 1 }{8}$

Atenção: Esse valor se refere ao seno 42 em graus, se por curiosidade você usar uma calculadora e o resultado for negativo, saiba que a sua calculadora está com a configuração para radianos!

Bons estudos!