Question

Utilize a separação de variáveis para resolver a equação y' = (y − 2)(y − 3).
ATENÇÃO:
1. Não esqueça das soluções de equilíbrio;
2. Cuidado com os módulos.

Answer 1

Temos a seguinte EDO:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y' = (y - 2).(y- 3)$

Primeiramente vamos substituir a notação y' pela notação dy/dx, pois facilita o entendimento:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{dy}{dx} = (y - 2).(y - 3)$

O próprio enunciado nos diz que é uma EDO de variáveis separáveis, portanto vamos fazer isso:

$dy = (y - 2).(y - 3) \: dx \: \to \: \frac{1}{(y - 2).(y - 3)} dy = dx$

Fazendo isso, conseguimos separar as variáveis, agora vamos aplicar a integral nos membros:

$\int \frac{1}{(y - 2).(y - 3)} dy = \int \: dx \\ \\ \int \frac{1}{(y - 2).(y - 3)} dy = x + c_{2}$

Essa primeira integral, devemos resolver pelo método das frações parciais:

$\frac{1}{(y - 2).(y - 3)} = \frac{A }{ y - 2} + \frac{B}{y - 3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{1}{ \cancel{(y - 2).(y - 3)}} = \frac{A .(y - 3) + B.(y - 2)}{ \cancel{(y - 2).(y - 3)}} \\ \\ 1 = Ay - 3A + By -2B$

Igualando os temos que possuem variáveis com os que também possuem, assim como devemos igualar os termos que não possuem com os que também não possuem. Fazendo isso geramos um sistema (2x2):

$\begin{cases}A + B = 0 \\ - 3A - 2B = 1\end{cases}$

Resolvendo por adição:

$2A + 2 B - 3A - 2B = 0 + 1 \\ - 1A = 1 \: \to \: \boxed{A = - 1 }\\ \\ A + B = 0 \: \to \: - 1 + B = 0 \\ \boxed{ B = 1}$

Portanto podemos escrever a integral da seguinte maneira:

$\int \frac{ - 1}{(y - 2)} + \frac{1}{(y - 3)} \: dy = x + c_{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ - \int \frac{1}{(y - 2)} dy+ \int \frac{1}{(y - 3)} dy = x + c_{2} \\ \\ - \ln( |y - 2| ) + \ln( |y - 3| ) +c_{1} = x + c_{2}\\\\ \ln(|y-3|)-\ln(|y-2|)=x +\underbrace{ c_2-c_2}_{c}\\\\ \ln\left(\left|\frac{y-3}{y-2}\right|\right)=x +c$

Usando a definição de logarítmo, que diz que a base elevada ao logarítmo é igual ao logaritmando, temos:

$\log_{e}\left(\left|\frac{y-3}{y-2}\right|\right)=x+c\:\to\: e^{x+c} =\left|\frac{y-3}{y-2}\right|$

Vamos imbutir esse módulo na constante, ou seja, o sinal irá depender da constante, então:

$\:\:\:\:\:\: e^x . c =\frac{y-3}{y-2}$

Fazendo a divisão polinomial, temos que:

$e^x . c =1-\frac{1}{y-2} \:\to\:e^x.c -1=-\frac{1}{y-2}\\ \\(e^x.c -1).(-1)=\left(-\frac{1}{y-2}.(-1)\right)\\\\ 1-e^x.c=\frac{1}{y-2}\:\to\:y-2=\frac{1}{1-e^x.c}\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{y =\frac{1}{1-e^x.c}+2}}}$