Question

Utilize a regra de derivação para determinar:

f’(x) da função f(x) = x³ cotgx + 5x^2 secx

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\orange{f'(x)}~\pink{=}~\blue{ x \cdot (3x \cdot cotan(x) - x^2 \cdot cosec^2(x) + 5 \cdot sec(x) \cdot (2 + x \cdot tan(x))) }~~~}}$

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EXPLICAÇÃO PASSO-A-PASSO___✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀  

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☺lá, Airton, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, utilizando o que chamamos de regra do tombo, regra do produto e também regra do quociente. ✌

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ f(x) = x^3 \cdot cotg(x) + 5x^2 \cdot secx }}}$

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➡ $\sf\large\blue{ cotg(x) = tan^{-1}(x) = \dfrac{cos(x)}{sen(x)} }$  

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e

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➡ $\sf\large\blue{ sec(x) = \dfrac{1}{cos(x)}}$  

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☔ Temos que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, portanto

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➡ $\sf\large\blue{ f'(x) = \left(x^3 \cdot \dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' + \left(5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)} \right)' }$

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☔ Vamos analisar primeiro $x^3 \cdot \dfrac{cos(x)}{sen(x)}$. Seja P = $x^3$ e Q = $\dfrac{cos(x)}{sen(x)}$, portanto, pela regra do produto temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{(P \cdot Q)' = P' \cdot Q + P \cdot Q'}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja,

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➡ $\sf\large\blue{ \left(x^3 \cdot \dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' = (x^3)' \cdot \dfrac{cos(x)}{sen(x)} + x^3 \cdot \left(\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' }$

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☔ pela regra do tombo temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ (a \cdot x^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja,

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➡ $\sf\large\blue{ (x^3)' = 3x^2}$

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☔ pela regra do quociente temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\left(\dfrac{P}{Q}\right)' = \dfrac{P' \cdot Q - P \cdot Q'}{Q^2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja,

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➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' = \dfrac{-sen(x) \cdot sen(x) - cos(x) \cdot cos(x)}{sen^(x)} }$

➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' = \dfrac{-sen^2(x) - cos^2(x)}{sen^2(x)} }$

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☔ Lembrando que $sen^2(x) + cos^2(x)$ = 1 então temos que

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➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' = \dfrac{-1}{sen^2(x)} }$

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ou seja

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \left(x^3 \cdot \dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right)' = x \cdot (3x \cdot cotan(x) - x^2 \cdot cosec^2(x)) }}}$

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☔ Vamos analisar agora $5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)}$. Seja P = $5x^2$ e Q = $\dfrac{1}{cos(x)}$, portanto, pela regra do produto e pela regra do tombo temos que

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➡ $\sf\large\blue{ \left(5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)}\right)' = (5x^2)' \cdot \dfrac{1}{cos(x)} + 5x^2 \cdot \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)'}$

➡ $\sf\large\blue{ \left(5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)}\right)' = 10x \cdot \dfrac{1}{cos(x)} + 5x^2 \cdot \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)'}$

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e pela regra do quociente temos que

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➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)' = \dfrac{1' \cdot cos(x) - 1 \cdot (cos(x))'}{cos^2(x)}}$

➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)' = \dfrac{ sen(x) }{cos^2(x)}}$

➡$\sf\large\blue{ \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)' = \dfrac{sen(x)}{cos(x)} \cdot \dfrac{1}{cos(x)} }$

➡ $\sf\large\blue{ \left(\dfrac{1}{cos(x)}\right)' = \dfrac{tan(x)}{cos(x)} }$

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ou seja

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➡ $\sf\large\blue{ \left(5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)}\right)' = \dfrac{10x}{cos(x)} + 5x^2 \cdot \dfrac{tan(x)}{cos(x)}}$

$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \left(5x^2 \cdot \dfrac{1}{cos(x)}\right)' = 5x \cdot sec(x) \cdot (1 + x \cdot tan(x)) }}}$

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☔ Portanto temos finalmente que

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➡ $\sf\large\blue{ f'(x) = x \cdot (3x \cdot cotan(x) - x^2 \cdot cosec^2(x)) + 5x \cdot sec(x) \cdot (1 + x \cdot tan(x))}$

➡ $\sf\large\blue{ f'(x) = x \cdot (3x \cdot cotan(x) - x^2 \cdot cosec^2(x) + 5 \cdot sec(x) \cdot (1 + x \cdot tan(x))) }$

.

$\large\green{\boxed{\rm~~~\orange{f'(x)}~\pink{=}~\blue{ x \cdot (3x \cdot cotan(x) - x^2 \cdot cosec^2(x) + 5 \cdot sec(x) \cdot (2 + x \cdot tan(x))) }~~~}}$ ✅

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☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$  

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

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❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀  

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Resposta:

Resposta:

1)  7 / 3

2) 2

3) 2

4) 0

5) 2

6) 12