Question

Utilize a decomposição em fraçoes parciais para resolver a integral
Integral de 2x+3/x^2+3x-10 dx

Answer 1

Resposta:

∫ (2x+3)/(x²+3x-10) dx

************************************

ax²+bx+c=a*(x-x')*(x-x'') ....x' e x'' são as raízes

x²+3x-10=0

a=1  e x'=-5  e x''=2

(x²+3x-10) = (x+5)*(x-2)

************************************

(2x+3)/(x²+3x-10)=A/(x+5) +B/(x-2)

(2x+3)/(x²+3x-10)=A(x-2)/(x-2)(x+5) +B(x+5)/(x+5)(x-2)

(2x+3)=A(x-2) +B(x+5)

2x+3 =x(A+B) -2A+5B

 A+B=2  ==>vezes 2==>2A+2B=4 (i)

-2A+5B=3 (ii)

(i)+(ii)

7B=7 ==>B=1

A+1=2

A=1

(2x+3)/(x²+3x-10)=(1)/(x+5) +(1)/(x-2)

=[1/(x+5) +1/(x-2)]

∫ (2x+3)/(x²+3x-10) dx

=

∫ 1/(x+5) +1/(x-2) dx

=ln|x+5|+ ln|x-2|  + c

= ln |x²+3x-10|  + c

Answer 2

Após a realização dos cálculos, podemos concluir a resposta da integral

$\displaystyle\sf\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}dx$  é    $\sf\ln|x^2+3x-10|+k$

Produto de Stevin

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf x^2+(a+b)x+ab=(x+a)\cdot (x+b)\end{array}}$

Integração de funções racionais por frações parciais

Consiste em escrever uma função da forma   $\sf\dfrac{f(x)}{g(x)}$  em soma de frações parciais  $\sf h(x)$   e   $\sf v(x)$

ou seja    $\sf\dfrac{f(x)}{g(x)}=h(x)+v(x)$

Vamos a resolução da questão

Aqui vamos escrever o integrando como soma de frações parciais para depois resolver a integral.

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}=\dfrac{2x+3}{x^2+(5-2)x+5\cdot(-2)}\\\\\sf\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}=\dfrac{2x+3}{(x+5)(x-2)}=\dfrac{a}{x+5}+\dfrac{b}{x-2}\end{array}}$

Para descobrir os valores das constantes a e b vamos usar um sistema de equações

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \dfrac{2x+3}{(x+5)(x-2)}=\dfrac{a(x-2)+b(x+5)}{(x+5)(x-2)}\\\\\sf 2x+3=ax-2a+bx+5b\\\sf 2x+3=(a+b)x+(-2a+5b)\\\begin{cases}\sf a+b=2\\\sf-2a+5b=3\end{cases}\\\\+\underline{\begin{cases}\sf2a+2b=4\\\sf=-2a+5b=3\end{cases}}\\\sf 7b=7\\\sf b=\dfrac{7}{7}\\\sf b=1\\\sf a+b=2\\\sf a+1=2\\\sf a=2-1\\\sf a=1\end{array}}$

A decomposição em frações parciais é

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}=\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x-2}\end{array}}$

Portanto podemos substituir na integrando a decomposição acima

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}dx=\int\dfrac{1}{x+5}dx+\int\dfrac{1}{x-2}dx\\\displaystyle\sf\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}dx=\ln|x+5|+\ln|x-2|+k\\\displaystyle\sf\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}dx=\ln|(x+5)(x-2)|+k\\\displaystyle\sf\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x-10}dx=\ln|x^2+3x-10|+k\checkmark\end{array}}$

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