Question

Utilize a aproximação linear da função dada no ponto xo, para calcular o valor aproximado da função no ponto x1.

a) f(x) = x²-4x+3 ponto xo = 3, x1 = 2,9
b) f(x) = 6-2x-x² ponto xo = 2, x1 = 2,1

Answer 1

Se $f$ for derivável em $x_{0},$ então a aproximação linear de $f$ em torno do ponto $x_{0}$ é dada por

$\boxed{\begin{array}{c}p(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}) \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

(que é uma função polinomial do primeiro grau)

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a) $f(x)=x^2-4x+3\,,~x_{0}=3\,,~x_{1}=2,9:$

Calculando a derivada de $f:$

$f'(x)=2x-4$


A derivada no ponto $x_{0}=3:$

$f'(3)=2\cdot 3-4\\\\ f'(3)=6-4\\\\ f'(3)=2$


A aproximação linear $p(x):$

$p(x)=f(3)+f'(3)\,(x-3)\\\\ p(x)=(3^2-4\cdot 3+3)+2\,(x-3)\\\\ p(x)=(9-12+3)+2\,(x-3)\\\\ p(x)=0+2\,(x-3)\\\\ p(x)=2\,(x-3)\\\\ p(x)=2x-6$


Portanto, no ponto $x_{1}=2,9,$

$f(2,9)\approx p(2,9)\\\\ f(2,9)\approx 2\cdot 2,9-6\\\\ f(2,9)\approx 5,8-6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}f(2,9)\approx -0,2 \end{array}}$

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b) $f(x)=6-2x-x^2\,,~x_{0}=2\,,~x_{1}=2,1:$

A derivada de $f:$

$f'(x)=-2-2x$


No ponto $x_{0}=2,$

$f'(2)=-2-2\cdot 2\\\\ f'(2)=-2-4\\\\ f'(2)=-6$


A aproximação linear $p(x):$

$p(x)=f(2)+f'(2)\,(x-2)\\\\ p(x)=(6-2\cdot 2-2^2)-6\,(x-2)\\\\ p(x)=(6-4-4)-6\,(x-2)\\\\ p(x)=-2-6\,(x-2)\\\\ p(x)=-2-6x+12\\\\ \boxed{\begin{array}{c}p(x)=-6x+10 \end{array}}$


Portanto, no ponto $x_{1}=2,1,$

$f(2,1)\approx p(2,1)\\\\ f(2,1)\approx -6\cdot 2,1+10\\\\ f(2,1)\approx -12,6+10\\\\ \boxed{\begin{array}{c}f(2,1)\approx -2,6 \end{array}}$

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Obs.: É importante saber estimar o erro cometido ao fazer estas aproximações. Senão, o resultados obtidos não têm significado completo.