Question

Utilize a ANÁLISE DE MALHA para mostrar que a soma das

potências fornecidas pelas fontes é igual à soma das potências dissipadas pelas resistências. Para isso,

mostre o passo a passo detalhado da aplicação da análise de malha para obtenção das equações de

malha e consequente obtenção das correntes em todos os ramos do circuito, por fim calcule as

potências de todos os elementos de circuitos.​

Answer 1

Considere o desenho anexado à resolução.

No desenho destacamos os três ramos (verde, azul e laranja) do circuito.

Podemos ver também que o circuito é formado por duas malhas simples e, sendo assim, vamos ter duas correntes de malha: i₁ e i₂

Note que adotamos sentido horário para as correntes de malha e, por conveniência, adotamos as correntes nos ramos verde e laranja também no sentido horário, ou seja, no mesmo sentido das correntes de malha.

Antes de começarmos a aplicar a Lei de Kirchhoff das Tensões (lei das malhas), vamos atentar para corrente iₓ que percorre o ramo azul.

Utilizando o princípio da superposição, podemos escreve-la como a soma das duas correntes de malha, não esquecendo de considerar os sentidos adotados para as correntes.

$\boxed{\sf i_x~=~i_1-i_2}$

Agora sim, utilizando a 2ª Lei de Kirchhoff, sabemos que o somatório das quedas/elevações de tensão na malha deve ser igual a 0 (zero).

Malha à Esquerda:

$\sf -i_1\cdot 14~+~25~-~i_1\cdot 32~-~i_x\cdot 12~-~10~=~0\\\\\\-i_1\cdot 14~+~25~-~i_1\cdot 32~-~(i_1-i_2)\cdot 12~-~10~=~0\\\\\\-14i_1~+~25~-~32i_1~-~12i_1~+~12i_2~-~10~=~0\\\\\\\boxed{\sf 58i_1~-~12i_2~=~15}$

Malha à Direita:

$\sf +10~+~i_x\cdot 12~-~i_2\cdot 9~-~30~-~i_2\cdot 52~=~0\\\\\\+10~+~(i_1-i_2)\cdot 12~-~i_2\cdot 9~-~30~-~i_2\cdot 52~=~0\\\\\\10~+~12i_1~-~12i_2~-~9i_2~-~30~-~52i_2~=~0\\\\\\\boxed{\sf 12i_1~-~73i_2~=~20}$

Para achar as correntes de malha, portanto, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações obtidas.

$\left\{\begin{array}{ccc}\sf 58i_1~-~12i_2&=&15\\\sf 12i_1~-~73 i_2&=&20\end{array}\right.$

Vou omitir estes cálculos, já que não é o objetivo do exercício.

$\boxed{\sf i_1~=~\dfrac{171}{818}}~~~~~~~~\boxed{\sf i_2~=\,-\dfrac{196}{818}}~~~~~~~\boxed{i_x~=~\dfrac{367}{818}}$

Obs.: O sinal negativo na corrente i₂ apenas nos indica que adotamos o sentido contrário.

Vamos calcular agora as potências geradas (ou dissipadas) nas fontes e as potências dissipadas nos resistores. Note que a corrente iₓ percorre a fonte de tensão de 10 V no sentido da queda de tensão, logo teremos potências dissipada nessa fonte.

$\boxed{\sf P_{fonte}~=~i\cdot U}~~~~~~\boxed{\sf P_{resistor}~=~R\cdot i^2}$

Fonte 25V:

$P~=~25\cdot i_1\\\\P~=~25\cdot \dfrac{171}{818}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{4275}{818}~W}$

Fonte 10V:

$P~=\,-10\cdot i_x\\\\P~=\,-10\cdot \dfrac{367}{818}\\\\\boxed{P~=\,-\dfrac{3670}{818}~W}$

Fonte 30V:

$P~=\,-30\cdot i_2\\\\P~=\,-30\cdot \left(-\dfrac{196}{818}\right)\\\\\boxed{P~=~\dfrac{5880}{818}~W}$

Soma das potências geradas/dissipadas nas fontes:

$\boxed{P_{fonte}~=~\dfrac{6485}{818}~W}~~ \Rightarrow~Potencia~Gerada$

Resistor 14Ω:

$P~=~14\cdot i_1^{\,2}\\\\P~=~14\cdot \left(\dfrac{171}{818}\right)^{\,2}\\\\P~=~14\cdot \dfrac{29241}{669124}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{409374}{669124}~W}$

Resistor 32Ω:

$P~=~32\cdot i_1^{\,2}\\\\P~=~32\cdot \left(\dfrac{171}{818}\right)^{\,2}\\\\P~=~32\cdot \dfrac{29241}{669124}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{935712}{669124}~W}$

Resistor 12Ω:

$P~=~12\cdot i_x^{\,2}\\\\P~=~12\cdot \left(\dfrac{367}{818}\right)^{\,2}\\\\P~=~12\cdot \dfrac{134689}{669124}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{1616268}{669124}~W}$

Resistor 9Ω:

$P~=~9\cdot i_2^{\,2}\\\\P~=~9\cdot \left(\dfrac{196}{818}\right)^{\,2}\\\\P~=~9\cdot \dfrac{38416}{669124}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{345744}{669124}~W}$

Resistor 52Ω:

$P~=~52\cdot i_2^{\,2}\\\\P~=~52\cdot \left(\dfrac{196}{818}\right)^{\,2}\\\\P~=~52\cdot \dfrac{38416}{669124}\\\\\boxed{P~=~\dfrac{1997632}{669124}~W}$

Soma das potências dissipadas nos resistores:

$P_{resistores}~=~\dfrac{409374+935712+1616268+345744}{669124}\\\\\\P_{resistores}~=~\dfrac{5304730}{669124}\\\\\\\boxed{P_{resistores}~=~\dfrac{6485}{818}~W}~~ \Rightarrow~Potencia~Dissipada$

Como pudemos ver, a potência gerada é igual a potência dissipada como já era esperado.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$