Question

Utilizando uma matriz quadrada de ordem 2, mostre que:
a) Toda matriz quadrada que possui uma fila (isto é, linha ou coluna) nula tem determinante nulo.
b) O determinante muda de sinal quando se troca duas filas de ordem.
c)toda matriz que possui 2 filas iguais tem determinante nulo.
d) multiplicando ou dividindo uma matriz quadrada por um número real k (k diferente de 0), seu determinante fica respectivamente multiplicado ou dividido por k.

Answer 1

Olá!
 
    Seja    $A=\left[\begin{array}{lr}a&b\\ c& d\end{array}\right]. \text{ Temos:}\\ \\ \det{\left[\begin{array}{lr}a&b\\ c& d\end{array}\right]=0\Leftrightarrow ad-bc=0}.\text{ Se uma fila \'e nula, ent\~ao}\\ \\ ad=0\;\;\text{e}\;\;bc=0 \Rightarrow \det(A)=0.\\ Trocando duas filas de ordem, temos: A=\left[\begin{array}{lr}c&d\\ a& b\end{array}\right]\;\;\text{ou}\;\; A=\left[\begin{array}{lr}b&a\\ d& c\end{array}\right]\Rightarrow \det(A)= cb-ad=-(ad-bc)\;\;\text{ou}\;\;\\ \\ \\ \det(A)= bc- ad= -(ad-bc)$

Ainda, se duas filas forem iguais, então

$A=\left[\begin{array}{lr}a&b\\ a& b\end{array}\right]\;\;\text{ou}\;\; A=\left[\begin{array}{lr}a&a\\ c& c\end{array}\right]\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \det(A) = ab-ab=0\;\;\text{ou}\;\;\det(A)=ac - ac = 0.\\ \\ \text{ k\neq 0 , ent\~ao } kA=k\left[\begin{array}{lr}a&b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lr}ka&kb\\ kc& kd\end{array}\right]\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \det(kA)=kakd-kckb=k^2ad-k^2bc=k^2(ad-bc).$


Faltou um detalhe no item (D), pois multiplicando uma matriz por uma constante não nula, o determinante fica multiplicado por essa constante elevada à ordem da matriz, ou seja, se a matriz é de ordem n, então

$\det(kA)=k^n\det(A).$


    No nosso caso, a matriz é de ordem n = 2, logo seu determinante ficará multiplicado pela constante elevada ao quadrado.



Bons estudos!