Question

Utilizando o teorema do valor médio, mostre que | sen(x)-sen(y) | ≤ | x - y | para todo x, y ∈ aos reais ( |R )

Answer 1

O teorema do valor médio afirma que, dada uma função contínua, existe um c pertencente ao intervalo aberto (a,b), tal que:

$\boxed{f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}}$

Logo, seja a função contínua seno, f(x) = sen(x), então:

$f(x) = sen(x) \\\\f(y) = sen(y) \\\\f'(x) = cos(x) \Rightarrow f'(c) = cos(c)$

Pelo teorema,

$cos(c) = \frac{sen(x) - sen(y)}{x - y} \Leftrightarrow \\\\cos(c).(x-y) = sen(x) - sen(y) \Leftrightarrow \\\\ \boxed{| cos(c).(x-y) | = | sen(x) - sen(y) |}~~[~Eq. 1~]$

Sabemos que a função cos(c) varia de -1 até 1. Assim, se ela for multiplicada por (x-y) o valor máximo será 1.(x-y) e o mínimo -1(x-y).

Acontece que, em módulo, a função: | cos(c).(x-y) | estará sempre entre 0 e (x-y). Isso significa que essa função modular será sempre menor ou igual a: | (x-y) |, haja vista que o valor máximo "1" do cos(c) impede cos(c).(x-y) ser maior que o próprio (x-y).

Dessa maneira,

$| cos(c) . (x-y) | \leq | (x-y) |$

Como, pela equação 1, | cos(c).(x-y) | é igual a | sen(x) - sen(y) |, então:

$| sen(x) - sen(y) | \leq | (x-y) |~~~~~~~~~~~~~~~~~~\blacksquare$