Question

Utilizando o teorema de Laplace, Calcule o determinante A=(Aij 3x3), onde Aij=i+j, e marque a alternativa que tem o valor det(a):
(A) 6
(B) 0
(C) 2
(D) -2
(E) 4

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Willian, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Pede-se para calcular, utilizando-se o teorema de Laplace,  o determinante (d) da matriz A = (Aij)3x3 (três linhas e três colunas), que tem a seguinte lei de formação: (aij) = i+j.

Antes vamos ver qual é a conformação de uma matriz A = (Aij3x3):

.......|a₁₁....a₁₂....a₁₃|
A = |a₂₁....a₂₂....a₂₃|
.......|a₃₁....a₃₂....a₃₃|

Agora vamos pra lei de formação, que é esta: (aij) = i+j.
Assim, cada elemento da matriz A será formado da seguinte forma:

a₁₁ = 1 + 1 = 2
a₁₂ = 1+ 2 = 3
a₁₃ = 1 + 3 = 4
a₂₁ = 2 + 1 = 3
a₂₂ = 2 + 2 = 4
a₃₂ = 3 + 2 = 5
a₃₁ = 3 + 1 = 4
a₃₂ = 3 + 2 = 5
a₃₃ = 3 + 3 = 6

Assim, a matriz A = (aij3x3) será esta:

.......|2....3.....4|
A = |3....4....5|  <--- Esta é a matriz A.
.......|4....5....6|

Agora vamos encontrar o seu determinante (d), aplicando o teorema de Laplace, que será dado assim (marca-se uma coluna qualquer e, a partir dela, multiplicamos cada elemento da coluna marcada pelos respectivos Cofatores.
Assim, marcando a primeira coluna, teremos:

d = a₁₁*A₁₁ + a₂₁*A₂₁ + a₃₁*A₃₁        . (I)

Veja: o "a₁₁", o "a₂₁" e o "a₃₁" são os elementos da própria matriz correspondentes a esses termos, enquanto o "A₁₁", o "A₂₁" e o "A₃₁" são os cofatores. Por seu turno, uma vez encontrado o determinante de cada matriz dos cofatores, então basta aplicar isto:

d = (-1)^(1+j)*dij  para cada um dos cofatores       . (II) 

Sendo "dij" o determinante da matriz dos respectivos cofatores.
Assim, teremos:

d =  2*A₁₁ + 3*A₂₁ + 4*A₃₁

Agora note: as matrizes dos cofatores acima são calculadas assim:

a) Para o cofator A₁₁, como marcamos a primeira coluna, então a matriz desse cofator será  obtida tirando-se a primeira coluna e a primeira linha, restando:
|4....5|
|5....6| , cujo determinante será:

d₁₁ = 4*6 - 5*5 = 24 - 25 = - 1.

b) Para o cofator A₂₁ ,  como marcamos a primeira coluna, então a matriz desse cofator será  obtida tirando-se a primeira coluna e a segunda linha, restando:
|3....4|
|5....6|, cujo determinante será:

d₂₁ = 3*6 - 5*4 = 18 - 20 = - 2

c) Para o cofator A₃₁ ,  como marcamos a primeira coluna, então a matriz desse cofator será  obtida tirando-se a primeira coluna e a terceira linha, restando:
|3....4|
|4....5|, cujo determinante será:

d₃₁ = 3*5 - 4*4 = 15 - 16 = - 1.

d) Como já temos os determinantes de cada uma das matrizes dos cofatores, então agora vamos encontrar qual será o determinante da matriz A. Para isso, aplicaremos o que vimos na expressão (I), que é esta:

d = a₁₁*A₁₁ + a₂₁*A₂₁ + a₃₁*A₃₁

Como já vimos que "a₁₁" = 2; "a₂₁" = 3 e "a₃₁" = 4, e como já vimos também que os determinantes das matrizes dos respectivos cofatores são: "d₁₁ = -1", que "d₂₁ = -2" e que "d₃₁ = -1", teremos, aplicando o que vimos lá na expressão (II), que é isto:

d = (-1)^(1+j)*dij ---- assim, aplicando a soma de cada termo vezes o respectivo determinante, teremos:

d = 2*(-1)¹⁺¹ * (-1) + 3*(-1)²⁺¹ * (-2) + 4*(-1)³⁺¹ * (-1)
d = 2*(-1)² *(-1) + 3*(-1)³*(-2) + 4*(-1)⁴*(-1)
d = 2*1*(-1) + 3*(-1)*(-2) + 4*(1)*(-1)
d = - 2 +  6 - 4
d = 0 <---- Esta é a resposta. Opção "B". 

É isso aí. É, como dissemos antes, fácil a resolução mas bastante trabalhosa.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.