Question

Utilizando o Princípio de Indução Finita, demonstre:
2|(n^2 + n), ∀n ∈ N

Answer 1

 Prezado Anderson, boa noite!

Inicialmente, devemos demonstrar que 2 divide a expressão (n² + n). Isto é, ao dividir (n² + n) por 2 devemos encontrar um número natural.
 
 Ora, do Princípio da indução finita, 

=> A afirmativa é verdadeira quando n = 1.

$\frac{n^2+n}{2}=\\\\\frac{(1)^2+1}{2}=\\\\\frac{2}{2}=\\\\1$ 

Como podes notar, "1" pertence ao naturais.


=> Também será verdadeira quando n = k.

$\frac{n^2+n}{2}=\\\\\frac{k^2+k}{2}=$

Ou seja, $2|(k^2+k)$. A propósito, suponha que dessa divisão tenhamos como quociente o parâmetro "p" (pertencendo ao naturais não nulos).


=> Também deverá ser verdadeira para n = k + 1.

$\frac{n^2+n}{2}=\\\\\frac{(k+1)^2+(k+1)}{2}=\\\\\frac{k^2+2k+1+k+1}{2}=\\\\\frac{k^2+k+2k+2}{2}=\\\\\frac{k^2+k}{2}+\frac{2k+2}{2}=\\\\p+\frac{2(k+1)}{2}=\\\\p+(k+1)$
 
 Cqd.

Espero ter ajudado!!