Question

Utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre as dimensões do jardim retangular de maior área que pode ser cercado com 200m de cerca.

Alternativas
Alternativa 1:
50m e 50m.

Alternativa 2:
60m e 40m.

Alternativa 3:
75m e 25m.

Alternativa 4:
100m e 50m.

Alternativa 5:
100m e 100m.

Answer 1

Sejam $x$ e $y$ o comprimento e a largura (ambos em metros), respetivamente, do jardim retangular. A função $f$ dada por

$f(x,y) = xy,$

dá-nos a área do jardim, que é o que pretendemos maximizar.

A restrição que é imposta refere-se ao perímetro do jardim:

$2x+2y = 200 \iff x+y = 100 \iff x+y-100=0.$

Seja então $g$ a função dada por

$g(x,y)=x+y-100.$

Podemos então escrever a restrição na forma

$g(x,y)=0.$

O método dos multiplicadores de Lagrange diz-nos que $f$, quando sujeita à restrição $g=0$, tem máximo nos pontos $(x,y)$ que são solução do sistema:

$\begin{cases} \vec{\nabla}f(x,y) = \lambda\vec{\nabla}g(x,y) \\ g(x,y)=0 \end{cases}, \quad\lambda \in \mathbb{R}.$

O gradiente de $f$ é:

$\vec{\nabla}f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \left(\dfrac{\partial }{\partial x} (xy),\dfrac{\partial }{\partial y}(xy)\right) = (y,x).$

O gradiente de $g$ é:

$\vec{\nabla}g(x,y) = \left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) = \left(\dfrac{\partial }{\partial x} (x+y-100),\dfrac{\partial }{\partial y}(x+y-100)\right) = (1,1).$

Substituindo no sistema, tem-se:

$\begin{cases} \vec{\nabla}f(x,y) = \lambda\vec{\nabla}g(x,y) \\ g(x,y)=0 \end{cases} \iff\begin{cases}(y,x)= (\lambda,\lambda) \\ x+y=100\end{cases} \iff\begin{cases}y =\lambda \\ x = \lambda \\ x+y=100\end{cases}.$

Obtém-se então, das primeiras duas condições:

$x= \lambda = y,$

o que significa que se trata de um quadrado! Por outro lado, da última condição, impondo $x=y$, vem:

$2x = 100 \iff x = 50 = y.$

Portanto, o jardim retangular com perímetro de 200 m e área máxima é na verdade um jardim quadrado com 50 m de lado.

Respsota: Alternativa 1

Answer 2

Chamando os lados do terreno retangular de x e y, temos:

$2x + 2y = 200 \\ 2(x + y) = 200 \\ x + y = \frac{200}{2} \\ x + y = 100$

A fórmula da área (a) é:

$a = xy$

Isolando y na primeira equação:

$y = 100 - x$

Substituímos o valor encontrado na segunda equação:

$a = x(100 - x) \\ a = 100x - {x}^{2} \\ a = - {x}^{2} + 100x$

Achamos a área em função de x. Agora, achamos o valor de x que torna a área máxima (o x do vértice):

$x = - \frac{b}{2a} \\ x = - \frac{100}{2 \times ( - 1)} \\ x = \frac{ - 100}{ - 2} \\ x = 50m$

Se é igual a 50m, y é igual a 50m, pois assim somam 100m.

RESPOSTA: Alternativa 1