Question

Utilizando o método de resolução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, resolva:
(a) y"+ 4y'= 12y

(b) y"/10y' - 25y = 1

Answer 1

O método de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes consiste em supor solução

$y(x) = e^{rx}$

E determinar todos os valores de r que são solução.

a) y'' + 4y' - 12y = 0

Supondo $y(x) = e^{rx}$,

$r^2e^{rx}+4re^{rx}-12e^{rx} = 0$

$(r^2+4r-12)e^{rx} = 0$

Como nossa solução não é zero para nenhum x, então devemos ter que

$r^2+4r-12 = 0$

Resolvendo por Bhaskara, obtemos que r deve ser

$r = \dfrac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} = \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2} = -2\pm4$

Portanto, as soluções serão da família

$y(x) = Ae^{2x}+Be^{-6x}$

b) y'' - 10y' + 25y = 0

Novamente, supomos solução $y(x) = e^{rx}$ e caímos num polinômio

$r^2-10r+25 = 0$

Resolvendo-o,

$r = \dfrac{10\pm\sqrt{100-100}}{2} = 5$

Temos uma solução com multiplicidade, assim, deve haver outra solução

$y_2(x) = u(x)\cdot e^{5x}$

Substituindo, obtemos que

$u''e^{5x}+10u'e^{5x}+25ue^{5x} - 10(u'e^{5x}+5ue^{5x})+25ue^{5x} = 0$

$u''+10u'+25u-10u''-50u+25u = 0$

$u'' = 0$

$u(x) = ax+b$

Portanto, são soluções as famílias

$y(x) = b_1e^{5x} + (Ax+b_2)e^{5x} = Axe^{5x} + (b_1+b_2)e^{5x}$

$y(x) = Axe^{5x} + Be^{5x}$