Question

Utilizando o método de ponto médio, determine a solução da equação diferencial dy / dt = y; com a condição inicial y (0) = 1, trabalhando com quatro casas decimais, adotando o intervalo [0, 4] e passo Δt = 1.

a. 39, 0625
b. 38, 6662
c. 40, 0002
d. 41, 2007
e. 51, 6283

Answer 1

A RESPOSTA CORRETA É   ALTERNATIVA a. 39, 0625

Answer 2

39, 0625 (letra a) é o valor da da equação diferencial $\frac{dy}{dt}=y$ no ponto x=4 com as condições iniciais e o passo solicitados.

Primeiro, apresento a conta feita em detalhes onde ye representa a solução exata de $e^t$ e error é a diferença entre a solução exata e a solução pelo método do ponto médio:

n t y  f(y,t)  dy  yn  ye  error

0 0 1  1  1.5  2.5  1  0

1 1 2.5  2.5  3.75  6.25 2.718 0.218

2 2 6.25 6.25 9.375 15.625 7.389 1.139

3 3 15.625 15.625 23.4375 39.066 20.086 4.461

4 4 39.0625       54.598 15.536

O método do ponto médio é parecido com o método de Euler tradicional que pertence à família de métodos chamados de Runge-kutta.

No método de Euler, obtemos a solução através de $y_{n+1}=y_i+f\cdot\Delta x$.

Já no método do ponto médio, ao invés de tomar a a reta tangente no ponto atual $y_n$, tomamos a tangente no ponto médio entre (t) e (t+1)

Logo o nosso próximo ponto passa a ser descrito como:

$y_{n+1}=i_n+f\left(x_n+\dfrac{\Delta x}{2} {\bf ,} y_n+\dfrac{\Delta x}{2}f(x_i,y_i)\right)\Delta x$

Como você pode reparar, a função f é calculada em $f(x+\frac{\Delta x}{2},y+y\frac{\Delta x}{2})$

A vantagem deste método é ter um erro global de ordem O². Portanto para valores de x próximos de zero, o erro tenderá a zero muito mais rápido do que no método de Euler.

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