Question

Utilizando o método de L’Hopital para resolução de limites, determine para qual valor a sequência dada por $an=\frac{\ \sqrt{n+1 }}{n}$ converge.

Answer 1

Resposta:

0

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

an= raiz(n+1)/n

onde devemos determinar:

lim raiz(n+1)/n

n->inf.

Seja u= raiz(n+1) e v= n, logo:

u= (n+1)^(1/2)

u'= (1/2).(n+1)^(1/2 - 1)

u'= (1/2).(n+1)^(-1/2)

u'= 1/[2.raiz(n+1)]

v= n

v'= 1

Como lim raiz(n+1)/n gera uma indeterminação,

n->inf.

no caso inf/inf, então podemos usar a Regra de L'Hopital conforme abaixo:

lim u/v = lim u'/v'

lim 1/[2.raiz(n+1)] / 1

n->inf.

lim 1/[2.raiz(n+1)]

n->inf.

lim 1/2. lim 1/raiz(n+1)

n->inf. n->inf.

(1/2). 1/ lim raiz(n+1)]

n->inf.

Como n->inf., raiz(n+1)->inf., e 1/raiz(n+1)->0, portanto:

(1/2).0 = 0

ou seja, lim raiz(n+1)/n = 0

n->inf.

Blz?

Abs :)