Question

Utilizando o método de Euler, determine a solução da equação diferencial dy / dt = y - t - 1, com a condição inicial y (0) = 1, trabalhando com quatro casas decimais, adotando o intervalo [0, 0, 3] e passo Δ t = 0,1. a. 0, 969 b. 0, 9375 c. 0, 8524 d. 0, 6352 e. 0, 3256

Answer 1

RESPOSTA CORRETA É a. 0, 969

Answer 2

A solução para a equação diferencial  $\frac{dy}{dt}=y-t-1$ é 0,969

Método de Euler

O método de Euler é um método de primeira ordem, o que significa que o erro local é proporcional ao quadrado do tamanho do passo e o erro global é proporcional ao tamanho do passo. O método de Euler geralmente serve como base para a construção de métodos mais complexos.

Deve-se considerar que:

• $\frac{dy}{dt} =y'=f(t,y)$

• $y(t_0)=y_0$

onde y, y', $y_0$ $\displaystyle \in \ \ \mathbb{R}^n$ são vetores n-dimensionais, $\displaystyle f\ \mathbb{R}^{n+1} \Rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Enquanto t e $t_0$ são escalares.

A fórmula do método de Euler é:

                       $\displaystyle y_{k+1} =y_{k} +hf( t_{k} ,y_{k}) ;\ \ \ k=0,1,2,3,...n-1$

Sendo h o intervalo em que t varia.

Para este exercício temos:  $y'=y-t-1; \ \ \ y(0)=1$ portanto, $t_0=0 \ \ e \ \ y_0=1$ e finalmente nos diz que t varia em Δt=0,1.

Agora resolvemos para n=0, n=1 e n=2 para poder encontrar $y_3$, já que nos diz que o intervalo é [0, 3]:

$f(t_0,y_0)=f(0,1)=y_0-t_0-1=1-0-1=0$

`$y_{k+1} =y_{k} +hf( t_{k} ,y_{k})\\y_{0+1} =y_{0} +hf( t_{0} ,y_{0})\\y_1=1+0,1*f(0,1)\\y_1=1+0,1(0)\\y_1=1$

O acima nos deixa que:

$h=0,1\\y_1=1\\t_1=0,1\\f(t_1,y_1)=y_1-t_1-1=1-0,1-1=-0,1$

$y_{k+1} =y_{k} +hf( t_{k} ,y_{k})\\y_{1+1} =y_{1} +hf( t_{1} ,y_{1})\\y_2=1+0,1*f(-0,1;1)\\y_2=1+0,1(-0,1)\\y_2=0,99$

O acima nos deixa que:

$h=0,1\\y_2=0,99\\t_2=0,2\\f(t_2,y_2)=y_2-t_2-1=0,99-0,2-1=-0,21$

$y_{k+1} =y_{k} +hf( t_{k} ,y_{k})\\y_{2+1} =y_{2} +hf( t_{2} ,y_{2})\\y_3=0,99+0,1*f(0,2;0,99)\\y_3=0,99+0,1(-0,21)\\y_3=0,969$

A solução para o método de Euler é 0,969

Se você quiser ver mais equações diferenciais, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/28377118

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