Question

utilizando o método de equação diferenciais ordinária homogêneas resolva a seguinte equação y'= x^2 +y^2/xy

Answer 1

$\frac{dy}{dx}= \frac{x^2+y^2}{xy}$

a edo é homogenea então faremos a substitução
$\boxed{zx=y}$

temos:
$y= z*x\\\\ \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(z*x) \\\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx} *x + z*\frac{dx}{dx}\\\\\boxed{\boxed{ \frac{dy}{dx}= x*\frac{dz}{dx}+z }}}$

substituindo na equação
$x*\frac{dz}{dx}+z = \frac{(z*x)^2+x^2}{z*x*x} \\\\ x*\frac{dz}{dx}+z = \frac{z^2*x^2+x^2}{z*x^2} \\\\ x*\frac{dz}{dx}+z = \frac{x^2*(z^2+1)}{z*x^2} \\\\ x*\frac{dz}{dx}+z = \frac{z^2+1}{z} \\\\ x*\frac{dz}{dx}+z= \frac{z^2}{z}+ \frac{1}{z} \\\\ x*\frac{dz}{dx} +z=z+ \frac{1}{z} \\\\ x*\frac{dz}{dx}= \frac{1}{z} \\\\ z*dz = \frac{1}{x}*dx \\\\ \int z*dz = \int \frac{1}{x} dx\\\\ \frac{z^2}{2}= ln(x)+C\\\\ z^2= 2ln(x)+C \\\\ \boxed{\boxed{z= \pm \sqrt{ln(x)+C} }}$

como
zx=y
z= y/x

$\frac{y}{x}=\pm \sqrt{2ln(x)+C} \\\\\boxed{\boxed{y= \pm\; x \sqrt{2ln(x)+C} }}$

Answer 2

Resposta:

ln y/x = ln |x| + c

Explicação passo-a-passo:

A resolução acima está correta, porém caso você tenha feito pelo AVA essa é a resposta equivalente a conta que foi deixada nessa outra resposta