Question

Utilizando o conceito de limite apresentado em nossas aulas e materiais, o limite da equação( que esta na imagem ) é

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão que o limite é igual a $\boxed{\bf \lim_{x \to 0} \frac{(x + 3) {}^{3} - 27 }{x} = 27}$

Explicação

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \to 0} \: \frac{(x + 3) {}^{3} - 27}{x}$

O objetivo é determinarmos a qual valor este limite se aproxima, dado as condições.

• Indeterminação:

Como de praxe, a primeira coisa que devemos fazer quando vamos resolver um limite, é substituir o valor a qual o x tende. Sendo assim:

$\lim_{x \to 0} \frac{(0 + 3) {}^{3} - 27 }{0} \: \to \: \lim_{x \to 0} \frac{3 {}^{3} + 27 }{0} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{27 - 27}{0} \: \to \: \lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$

Observe que obtemos uma indeterminação do tipo $\boxed{\bf \frac{0}{0}}$, portanto não podemos prosseguir o cálculo desta forma.

• Manipulação algébrica:

Uma forma de sumir com indeterminação, é utilizar alguma técnica de álgebra.

• 1) Vamos expandir o produto notável no denominador.

Se você observar, este produto é conhecido como o cubo da soma, sendo ele dado por:

$\boxed{\bf (a + b) {}^{3} = a {}^{3} + 3a {}^{2} .b + 3a.b {}^{2} + b {}^{3}}$

Desta maneira, temos a seguinte expansão:

$\lim_{x \to 0} \frac{x {}^{3} + 3.x {}^{2} .3 + 3.x.3 {}^{2} + 3 {}^{3} - 27}{x} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 27x + \cancel{27 - 27} {}^{0} }{x} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 27x }{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• 2) Todos os termos do numerador possuem x, então vamos colocá-lo em evidência, para que possamos fazer a simplificação com x que se encontra no denominador.

$\lim_{x \to 0} \frac{ \cancel{x}.(x {}^{2} + 9x + 27)}{ \cancel{x}} \: \to \: \lim_{x \to 0}(x {}^{2} + 9x + 27)$

• 3) Como removemos a indeterminação, podemos substituir novamente o valor a qual o x tende.

$\: \: \: \lim_{x \to 0}(9.0 {}^{2} + 9.0 + 27) \: \to \: \lim_{x \to 0}9$

O limite de uma constante é a própria constante, deste modo temos então que o resultado é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{(x + 3) {}^{3} - 27 }{x} = 27}$

Espero ter ajudado

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