Question

Utilizando números complexos, prove que:

$cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=sen\bigg(\dfrac{\pi}{10}\bigg)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

Answer 1

Para provar isso, consideremos, preliminarmente, o seguinte número complexo z ≠ 0:

$\sf z=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)+i\,sen\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)$

O módulo de z, representado por |z| é, por definição, igual a:

$\sf |z|=\sqrt{cos^2\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)+\:\!\:\!sen^2\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)}\\\\\\ |z|=\sqrt{1}\\\\ |z|=1$

Agora, com o auxílio da primeira fórmula de De Moivre (potenciação de números complexos), podemos escrever:

$\begin{array}{l}\sf z^5=cos\bigg(\diagup\!\!\!\!5\cdot\dfrac{2\pi}{\diagup\!\!\!\!5}\bigg)+i\,sen\bigg(\diagup\!\!\!\!5\cdot \dfrac{2\pi}{\diagup\!\!\!\!5}\bigg)\\\\ \sf z^5=cos(2\pi)+i\,sen(2\pi)\\\\ \sf z^5=1+i\cdot 0\\\\ \sf z^5=1\\\\ \sf z^5-1=0\\\\ \sf z^5-1^5=0\qquad (\:I\:)\end{array}$

Relembrando que z⁵ – 1⁵ = (z – 1)(z⁴ + z³ + z² + z + 1), a equação ( I ) fica:

$\sf \big(z-1\big)\!\big(z^4+z^3+z^2+z+1\big)=0\qquad(\:II\:)$

Sabemos que z ≠ cos(0) + isen(0) = 1, isto é, z – 1 ≠ 0. Baseando-se neste resultado, deduzimos facilmente que o produto no primeiro membro de ( II ) será nulo apenas quando:

$\begin{array}{l}\sf z^4+z^3+z^2+z+1=0\\\\\sf z^{-2}\big(z^4+z^3+z^2+z+1\big)=0\\\\\sf z^{-2} z^4+z^{-2} z^3+z^{-2}z^2+z^{-2}z+z^{-2}=0\\\\ \sf z^2+z^1+z^0+z^{-1}+z^{-2}=0\\\\\sf z^2+1+z^{-2}+z+z^{-1}=0\\\\\sf z^2+2-1+z^{-2}+z+z^{-1}=0\\\\ \sf\big(z^2+2\cdot z\cdot z^{-1}+z^{-2}\big)+\big(z+z^{-1}\big)-1=0\\\\\sf\big(z+z^{-1}\big)^{\!\:\!\:\!2}+\big(z+z^{-1}\big)-1=0\\\\ \sf \bigg(\dfrac{z+z^{-1}}{2}\bigg)^{\!\!2}+\dfrac{1}{2}\:\!\bigg(\dfrac{z+z^{-1}}{2}\bigg)-\dfrac{1}{4}=0\qquad (\:III\:)\end{array}$

Devido ao fato de z ser um complexo de módulo unitário, seu inverso z⁻¹ coincidirá com o seu conjugado $\sf \overline{z}$, ou seja:

$\sf z^{-1}=\overline{z}=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)-i\,sen\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)$

Dessa forma, concluímos que:

$\sf z+z^{-1}=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)+i\,sen\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)+cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)-i\,sen\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)\\\\\\ z+z^{-1}=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)+cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)\\\\\\ z+z^{-1}=2\:\!cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)\\\\\\ \dfrac{z+z^{-1}}{2}=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)$

Chamando cos(2π/5) de x e substituindo este valor em ( III ), encontraremos:

$\sf x^2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}=0\\\\\\ x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{1}{4}+\bigg(\dfrac{1}{4}\bigg)^{\!\!2}-\bigg(\dfrac{1}{4}\bigg)^{\!\!2}=\dfrac{1}{4}\\\\\\ \bigg(x+\dfrac{1}{4}\bigg)^{\!\!2}=\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}\\\\\\ \bigg(x+\dfrac{1}{4}\bigg)^{\!\!2}=\dfrac{5}{16}\\\\\\ \bigg|x+\dfrac{1}{4}\bigg|=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\qquad (\:IIII\:)$

É sabido que 0 < x < 1 (isso porque 2π/5 = 72° é ângulo agudo), logo 0 < 1/4 < x + 1/4 < 5/4 e, consequentemente, |x + 1/4| = x + 1/4 > 0. À vista disso, depreendemos que a equação ( IIII ) nos fornece uma única possibilidade (e também um único valor para x), que é:

$\sf x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\\\\\\ x=\dfrac{\sqrt{5}}{4}-\dfrac{1}{4}\\\\\\ x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\\\\\\ cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\qquad\bigg(pois\ \:\!x=cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)\bigg)$

Por último, substituindo θ por 2π/5 na identidade trigonométrica cos(θ) = sen(π/2 – θ), asseguramos a igualdade:

$\sf cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=sen\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}\bigg)\\\\\\ cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=sen\bigg(\dfrac{5\pi}{10}-\dfrac{4\pi}{10}\bigg)\\\\\\ cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=sen\bigg(\dfrac{5\pi-4\pi}{10}\bigg)\\\\\\ \boxed{\sf cos\bigg(\dfrac{2\pi}{5}\bigg)=sen\bigg(\dfrac{\pi}{10}\bigg)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}$

Obs.: a identidade algébrica z⁵ – 1⁵ = (z – 1)(z⁴ + z³ + z² + z + 1) é verdadeira para todo z pertencente a ℂ.