Matemática, perguntado por alisonaugusto83, 11 meses atrás

Utilizando integrais, calcule a área da região limitada pelas curvas abaixo:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área entre as curvas é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \int_{-1}^{1} \left[(1 - x^{4}) - (x^{3} - x)\right]\,dx = \frac{8}{5}\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam as funções:

$\Large\begin{cases} x = 1 - y^{4}\\x = y^{3} - y\end{cases}$

Observer que esta funções estão em termos de "y". Para resolver esta questão, devemos:

Deixar a funções em termos de "x". Para isso, devemos substituir as incógnitas "x" por "y". Então, temos:

$\Large\begin{cases} f(x) = 1 - x^{4}\\g(x) = x^{3} - x\end{cases}$

Definir os pontos de interseções. Para isso, devemos resolver a seguinte equação:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = g(x)\end{gathered}$}$

OBS: Não vou resolver esta equação pelo fato dos cálculos ser muito longos. Porém, devemos perceber que quando substituimos as incógnitas "x" por "y", o que na realidade fizemos foi girar - rotacionar - ambos os gráficos 90° anti-horário sobre o a origem dos eixos e 180° sobre eixo das ordenadas. Desta forma, podemos perceber que antes das rotações os pontos de interseções eram:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I' (0, -1)\:\:\:e\:\:\:I'' (0, 1) \end{gathered}$}$

Após as rotações, obtemos os seguintes pontos interseções:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I' (-1, 0)\:\:\:e\:\:\:I'' (1, 0) \end{gathered}$}$

Definir o intervalo "Ii" de integração:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I_{i} = \left[X_{I'},\,X_{I''}\right] = \left[-1,\,1\right]\end{gathered}$}$

Calcular a área entre as referidas curvas. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[f(x) -g(x)\right]\,dx\end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases} \tt S = \acute{A}rea\:entre\:as\:curvas\\\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{-1}^{1} \left[(1 - x^{4}) - (x^{3} - x)\right]\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int_{-1}^{1} \left[-x^{4} - x^{3} + x + 1\right]\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt =\left[- \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} - \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + x + c\right]\bigg|_{-1}^{1}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt =\left[- \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + x + c\right]\bigg|_{-1}^{1}\end{gathered}$}$

$\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt =\left[- \frac{(1^{5})}{5} - \frac{(1^{4})}{4} + \frac{(1^{2})}{2} + 1 \right] - \left[- \frac{((-1)^{5})}{5} - \frac{((-1)^{4})}{4} + \frac{((-1)^{2})}{2} - 1 \right]\end{gathered}$}$