Question

utilizando integração encontre a área da região limitada pelas curvas f(x)=-x2 + 4x e g(x)=x2

Answer 1

Vamos primeiramente encontrar os limites de integração para depois integrarmos a função, veja:

Iguale f(x) a g(x):

-x² + 4x = x²

-x² - x² + 4x = 0

-2x² + 4x = 0

Colocando x em evidência, temos:

-x (2x - 4) = 0

-x = 0 => x' = 0

2x - 4 = 0

2x = 4 => x" = 2.

Agora, encontrado os limites de integração, vamos integrar as funções:

$\mathrm{ \displaystyle \int_{0}^{2}~(-2x^2+4x)\, dx}}\\ \\ \\ \mathrm{(-2x^2+4x)\Bigg|_{0}^{2}}\\ \\ \\ \mathrm{-\dfrac{2x^3}{3}+2x^2}}\Bigg|_{0}^{2}}\\ \\ \\ \mathrm{-\dfrac{16}{3}+8}}\\ \\ \\ \mathrm{\dfrac{-16+24}{3}}\\ \\ \\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathrm{\dfrac{8}{3}}~\mathrm{u.a.}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}$

Ou seja, a área da região limitada pelas curvas f(x) = -x² + 4x e g(x) = x² é 8/3 de Unidades de Área.

Espero que te ajude :-)

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a área da região limitada pelas interseções das curvas das referidas funções é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \int_{0}^{2} (-2x^{2} + 4x)\,dx = \frac{8}{3}\,u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

              $\Large\begin{cases}\tt f(x) = -x^{2} + 4x\\\tt g(x) = x^{2}\end{cases}$

Para calcular a área da região limitada pelas interseções das curvas dos respectivos gráficos devemos:

• Encontrar o intervalo de integração das funções:

        Para isso, devemos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$        

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt -x^{2} + 4x = x^{2}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt -x^{2} + 4x - x^{2} = 0\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt -2x^{2} + 4x = 0\end{gathered}$

          Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt x = \frac{-b \pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{-4\pm\sqrt{4^{2} - 4\cdot(-2)\cdot0}}{2\cdot(-2)}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{-4\pm\sqrt{16}}{-4}\end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{-4\pm4}{-4}\end{gathered}$

         Obtendo as raízes:

            $\LARGE\begin{cases}\tt x' = \frac{-4 + 4}{-4} = \frac{0}{-4} = 0\\\tt x'' = \frac{-4 -4}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2\end{cases}$        

         Portanto, o intervalo de integração é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[0, \,2\right]\end{gathered}$        

• Calcular os pontos de interseção das curvas:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I' = (x', f(x')) = (0, 0^{2}) = (0, 0)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I'' = (x'', f(x'')) = (2, 2^{2}) = (2, 4)\end{gathered}$

• Montar, desenvolver e simplificar o cálculo da área "S" da região entre as curvas:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{2} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{2} \left[(-x^{2} + 4x) - (x^{2})\right]\,dx\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{2} \left[-x^{2} + 4x - x^{2}\right]\,dx\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{2} \left[-2x^{2} + 4x\right]\,dx\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[2\cdot\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 4\cdot\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + c\right]\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{2}{3}x^{3} + \frac{4}{2}x^{2} + c\right]\Bigg|_{0}^{2}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{2}{3}x^{3} + 2x^{2} + c\right]\Bigg|_{0}^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{2}{3}\cdot2^{3} + 2\cdot2^{2} + c\right] - \left[\frac{2}{3}\cdot0^{3} + 2\cdot0 + c\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = -\frac{16}{3} + 8 + c - 0 - 0 - c\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = -\frac{16}{3} + 8\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{-16 + 24}{3}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{8}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, a área "S" procurada é:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{2} (-2x^{2} + 4x)\,dx = \frac{8}{3}\,u\cdot a\end{gathered}$

                         

Saiba mais:

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Solução gráfica (figura):