Question

Utilizando as transformações trigonométricas, calcule cos 3a. (Dica: cos 3a = cos (2a+a)).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Tenha as seguintes identidades trigonométricas em mente:

1) $\cos (a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$

2) $\cos (2a)= \cos^2a- \sin^2a$

3) $\sin(2a)=2\cos a \cdot\sin a$

4) $\sin^2a=1-\cos^2a$

Então, segundo o exercício sugere:

$\cos3a=\cos(2a+a)$

Daqui, aplicamos a identidade 1:

$\cos(2a + a) = \cos 2a \cdot \cos a - \sin 2a \cdot \sin a$

Aplica-se a identidade 2 em $\cos 2a$:

$\cos(2a + a) = \cos 2a \cdot \cos a - \sin 2a \cdot \sin a\\\cos(2a + a) = (\cos^2a - \sin^2a)\cdot \cos a - \sin 2a \cdot \sin a\\\cos(2a + a) = \cos^3a - \cos a \cdot \sin^2a - \sin 2a \cdot \sin a$

Aplica-se a identidade 3 em $\sin 2a$:

$\cos(2a + a) = \cos^3a - \cos a \cdot \sin^2a - \sin 2a \cdot \sin a\\\cos(2a+a) =\cos^3a - \cos a \cdot \sin^2a - (2\cos a \cdot \sin a) \cdot \sin a\\\cos(2a + a) = \cos^3a - \cos a \cdot \sin^2a - 2\cos a \cdot \sin^2 a\\\cos(2a+a) = \cos^3a-3\cos a \cdot \sin^2 a$

Aplica-se a identidade 4 em $\sin^2 a$:

$\cos(2a+a) = \cos^3a-3\cos a \cdot \sin^2 a\\\cos(2a+a) = \cos^3a-3\cos a \cdot(1-\cos^2a)\\\cos(2a +a) = \cos^3a-3\cos a+3\cos^3a\\\cos(2a + a) = 4\cos^3a-3\cos a$