Question

Utilizando as propriedades de radicais calcule o valor de:
$\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{8}}}=\,?$​

Answer 1

Vamos lá!

Para o primeiro caso, podemos reduzir a raiz cúbica de 3:

$\Large\text{ {\sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{\sqrt[3]{8} } } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{2} } } }$

Agora, utilizamos a seguinte propriedade para os numeradores da fração:

$\Large\text{ {\sqrt[n]{x} \:.\:\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x\:.\:y} } }$

Aplicando:

$\Large\text{ {\sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}\:.\:\sqrt[3]{128} }{2} } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4\:.\:128} }{2} } = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{512} }{2} } } }$

Agora podemos reduzir a raiz cúbica de 512 para 8 e terminar de resolver:

Só para constar a fatoração de 512:

$\Large{512\:|\:2}\\\Large{256\:|\:2}\\\Large{128\:|\:2}\\\Large{64\:\:\:|\:2}\\\Large{32\:\:\:|\:2}\\\Large{16\:\:\:|\:2}\\\Large{8\:\:\:\:\:|\:2}\\\Large{4\:\:\:\:\:|\:2}\\\Large{2\:\:\:\:\:|\:2}\\\Large{1}$

Assim:

$\Large\text{ {\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2\:.\:2} = \sqrt[3]{2^{3}\:.\:2^{3}\:.\:2^{3} } = \sqrt[3]{8^{3} } = 8} }$

Prosseguindo:

$\Large\text{ {\sqrt{\frac{\sqrt[3]{512} }{2} } = \sqrt{\frac{8}{2} } = \sqrt{4} = 2\checkmark} }$

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

Answer 2

Resposta:

$\red{2}$

Explicação passo-a-passo:

$\pink{ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \: \sqrt[3]{128} \\ \frac{ \sqrt[3]{4 \times 128} }{512} \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{512} }{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \: \sqrt[3]{128}}{ \sqrt[3]{8}} \\ \\ \sqrt[3]{8} \\ \sqrt[3]{2 {}^{3} } \\ 2 \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{4} \: \: \: \: \sqrt[3]{128}}{ \sqrt[3]{8} } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{512} }{2}$

$\sqrt[3]{512} \\ \sqrt[3]{8 {}^{3}} \\ 8 \\ \frac{ \sqrt[2]{512} }{2} \\ \\ \sqrt{ \frac{8}{2} } \\ \\ \frac{8}{2} \\ \\ \frac{8 \div 2}{2 \div 2} \\ \\ \frac{4}{2 \div 2} \\ \\ \frac{8 \div 2}{2 \div 2} \\ \\ \frac{4}{1} \\ \\ 4 \\ \\ \sqrt{ \frac{ \cancel8}{ \cancel2} } \\ \\ \frac{ \sqrt{4} }{2 {}^{2} } \\ \\ 2 \\ \\ \sqrt{4} \\ \\ 2 \\ \green{resposta} \\ \red{2}$