Question

Utilizando a técnica de integração apropriada, encontre integrate x ^ 2 * e ^ x dx :

Answer 1

⇒ Usando o método da integração por partes, concluímos que a integral indefinida é $\large{e^{x}\left( x^{2} -2x+2\right) +c}$

☞ Vamos usar a técnica da Integração por Partes:

$\Large{\boxed{\int udv=uv-\int vdu}}$

➜ Aqui, seja $\large{u=x^{2}}$  e  $\large{dv=e^xdx}$,  então $\large{du=2xdx}$  e  $\large{\displaystyle\int dv=\int e^{x} dx\Longrightarrow v=e^{x}}$

Substituindo:

$\large{\displaystyle\int x^{2} e^{x} dx=x^{2} e^{x} -\int e^{x} 2xdx \:\:\:\:\:\:\:\:\:...(i)}$

➜ Para a integral $\large{\displaystyle\int e^{x} 2xdx}$,   seja  $\large{u=2x}$   e   $\large{dv=e^xdx}$,   então  $\large{du=2dx}$   e   $\large{v=e^{x}}$.

$\large{\begin{array}{l}\displaystyle\therefore \int e^{x} 2xdx=2xe^{x} -\int e^{x} 2dx\\\\=2xe^{x} -2e^{x} =e^{x}( 2x-2)\end{array}}$

Substituindo em (i),

$\large{ \begin{array}{l}\displaystyle \int x^{2} e^{x} dx=x^{2} e^{x} -e^{x}( 2x-2)\\\\=e^{x}\left( x^{2} -( 2x-2)\right) =e^{x}\left( x^{2} -2x+2\right)\end{array}}$

➜ Por fim, adicionando a constante de integração:

$\large{\text{ \boxed{\boxed{\int x^{2} e^{x} dx=e^{x}\left( x^{2} -2x+2\right) +c}} }}$

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Answer 2

Resposta:

Utilizando a integração por partes obtemos o seguinte resultado:

$\int {x^2\cdot e^x} \ dx=e^x\cdot (x^2-2x+2)+C$

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar a técnica de integração por partes.

$\int {u} \, dv =u\cdot v - \int {v} \,du$

Dada a integral

$\int {x^2\cdot e^x} \,dx$

Escolhendo adequadamente u e dv temos:

$u=x^2\Rightarrow du=2x \ dx\\\\dv = e^x \ dx\Rightarrow v = e^x$

Substituindo na integração por partes obtemos:

$\int {x^2\cdot e^x} \ dx=x^2\cdot e^x-\int {e^x\cdot 2x} \ dx$

Integrando mais uma vez por partes.

Escolhendo adequadamente u e dv temos:

$u=2x\Rightarrow du=2 \ dx\\\\dv = e^x \ dx\Rightarrow v = e^x$

Substituindo na integração por partes obtemos:

$\int {x^2\cdot e^x} \ dx=x^2\cdot e^x-\left[2x\cdot e^x-\int{e^x\cdot 2 \ dx\right]}$

$\int {x^2\cdot e^x} \ dx=x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x+C$

Organizando os termos:

$\int {x^2\cdot e^x} \ dx=e^x\cdot (x^2-2x+2)+C$