Question

Utilizando a série de Taylor,

Determine a série da potência que representa a função cos(x) quando C = π

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Answer 1

A série de Taylor para a função coseno ao dedor de π é:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}T(x) =\sum_{n = 0}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}\frac{\left(x-\pi \right)^{2n}}{2n!} \end{gathered} }$

A série de Taylor é o polinômio de Taylor quando a soma tende ao infinito, em particular temos o caso quando fazemos a série entorno do 0, quando isso acontece a série recebe o nome de série de MacLaurin, temos que o polinômio de Taylor de grau n é dado por:

$\displaystyle\begin{gathered}P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)\frac{\left(x-a\right)^2}{2!} + f'''(a)\frac{\left(x-a\right)^3}{3!} + \ldots + f^{(n)}(a)\frac{\left(x-a\right)^n}{n!} \end{gathered}$

Desse modo podemos então dizer que a polinômio de Taylor de grau n é dado pelo somatório:

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}P(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)\frac{\left(x-a\right)^{k}}{k!}\end{gathered} }$

No caso da série de Taylor, o limite superior do somátorio é infinito, então temos que a série de Taylor é dado por:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(a)\frac{\left(x-a\right)^{n}}{n!}\end{gathered} }$

E a série de MacLaurin é o caso onde a = 0, então temos:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)\frac{x^{n}}{n!}\end{gathered} }$

Feito essa breve introdução, vamos fazer de fato a série de Taylor para cos(x) onde a = π, lembrando que temos que calcular as derivadas de cos(x), porém elas são cíclicas, i.e. depois de uma determinada derivada elas começam a se repetir, então vamos calcular as derivadas de cos(x).

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&f(x) = \cos(x)\\ \\&f'(x) = -\sin(x)\\ \\&f''(x) = -\cos(x)\\ \\&f'''(x) = \sin(x)\\ \\&f''''(x) = \cos(x)\\ \\ \end{aligned}$

Veja que depois de 3 derivadas a função voltou a ser a original, e a ao longo desse trajeto ela mudou 2 vezes de sinal, como queremos a série ao redor de π, temos que calcular essas derivadas nesse valor, porém ±sin(π) é sempre 0, logo só ficamos com as derivadas com ±cos(π) = ±1, ou seja, teremos apenas os termos pares da série, pois nos impares temos multiplicação por 0, então vamos escrever nosso polinômio para ajudar a ver e depois construir a série.

$\displaystyle\begin{gathered}P(x) = \cos(\pi) - \sin(\pi)\left(x-\pi\right) - \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^2}{2!} + \sin(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^3}{3!} + \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^4}{4!}\end{gathered}$

Como a parte do seno vai para zero, podemos simplificar para:$\displaystyle\begin{gathered}P(x) = \cos(\pi) - \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^2}{2!} + \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^4}{4!} - \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^6}{6!} + \cos(\pi)\frac{\left(x-\pi\right)^8}{8!}\end{gathered}$

e simplificando o valor do cosseno temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}P(x) = -1 + \frac{\left(x-\pi\right)^2}{2!} - \frac{\left(x-\pi\right)^4}{4!} + \frac{\left(x-\pi\right)^6}{6!} - \frac{\left(x-\pi\right)^8}{8!}\end{gathered}$

Note que temos um padrão nos sinais, eles são sempre alternados, um positivo e outro negativo, os expoentes e fatoriais são sempre pares, então podemos escrever esse polinômio como o somatório:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}P(x) =\sum_{n = 0}^{4}\left(-1\right)^{n+1}\frac{\left(x-\pi \right)^{2n}}{2n!} \end{gathered} }$

Porém como dito anteriormente, a série de Taylor é dada quando o limite superior é infinito, então a Série de Taylor da função cos(x) ao redor de π é:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}T(x) =\sum_{n = 0}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}\frac{\left(x-\pi \right)^{2n}}{2n!} \end{gathered} }$

E por curiosidade, a série de MacLaurin é:

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}M(x) =\sum_{n = 0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{\left(x\right)^{2n}}{2n!} \end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Lembrando que nem toda função admite série de Taylor, apenas as que o somatório convergem.

Em anexo o polinômio de Taylor de grau 4 para a função coseno com a = π.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/19775450

brainly.com.br/tarefa/4542260

Answer 2

   Passo 1:                      

              série de Taylor.

                  $\boxed{\boxed{f(x)=\Sigma^ \infty_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.(x-a)^n }}$

em torno de $x_0=\pi$  temos:

                  $\boxed{f(x)=\Sigma^ \infty_{n=0}\frac{f^{(n)}.\pi}{n!} (x-\pi)^n}$

Passo 2:

Vamos montar uma tabela para as derivadas de cos(x):

                                $\boxed{n }\boxed{f^{{n}}(x)}}\\\\\\\boxed{0} \boxed{cos(x)}\\\\\\\boxed{1} \boxed{-sen(x)}\\\\\\\boxed{2}\boxed{-cos(x)}\\\\\boxed{3}\boxed{sen(x)}\\\\\boxed{4}\boxed{cos(x)}$

• Agora podemos realizar uma conclusão obvia, calculando em qualquer calculadora obtemos :  $_-^+sen(\pi)=0$  e  $_-^+cos(\pi)$  variando entre -1 e +1, ou seja obtemos valores diferentes de zero só para n's pares ( 2n ), como existe uma variação no sinal, podemos representa-la (-1)^n :

Passo 3:

Logo teremos:

$cos(x)= \Sigma^ \infty_{n=0}\frac{(x-\pi)^{2n}}{2n!} .(-1)^n$

Resposta:  $cos(x)= \Sigma^ \infty_{n=0}\frac{(x-\pi)^{2n}}{2n!} .(-1)^n$