Matemática, perguntado por matematicarossi, 1 ano atrás

Utilizando a regra de derivação, calcule o ANEXO

Anexos:

Lukyo: Por via das dúvidas, não sei se o que está ao quadrado é o logaritmo, ou apenas o x. Fiz das duas formas...
matematicarossi: Fantástico! Obrigado como SEMPRE. Questionei ao professor, depois te falo a resposta.
Lukyo: Por nada! :-)

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
2
\bullet~~ Possibilidade 1. Assumindo que a função a ser derivada é y=\dfrac{\mathrm{\ell n}(x^2)}{\cos 2x}:

Vamos derivar em relação a x usando a Regra do Quociente combinada com a Regra da Cadeia:

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{d}{dx}\!\left[\mathrm{\ell n}(x^2)\right ]\cdot \cos 2x-\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x)}{(\cos 2x)^2}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\left[\frac{1}{x^2}\cdot \frac{d}{dx}(x^2)\right ]\cdot \cos 2x-\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot [-\mathrm{sen\,}2x\cdot \frac{d}{dx}(2x)]}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\left[\frac{1}{x^2}\cdot 2x\right ]\cdot \cos 2x-\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot [-2\,\mathrm{sen\,}2x]}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{2}{x}\cdot \cos 2x+2\,\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot \mathrm{sen\,}2x}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{2}{x}\cdot \cos 2x+2\,\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot \mathrm{sen\,}2x}{\cos^2 2x}\cdot \dfrac{x}{x}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos 2x+2x\,\mathrm{\ell n}(x^2)\cdot \mathrm{sen\,}2x}{x\cos^2 2x} \end{array}}

__________________________

\bullet~~ Possibilidade 2. Assumindo que a função a ser derivada é y=\dfrac{(\mathrm{\ell n}\,x)^2}{\cos 2x}:

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{d}{dx}\!\left[(\mathrm{\ell n\,}x)^2 \right ]\cdot \cos 2x-\mathrm{(\ell n\,}x)^2\cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x)}{(\cos 2x)^2}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\left[2\,\mathrm{\ell n\,}x\cdot \frac{d}{dx}(\mathrm{\ell n\,}x) \right]\cdot \cos 2x-\mathrm{\ell n^2\,}x\cdot \left[-\mathrm{sen\,} 2x\cdot \frac{d}{dx}(2x) \right ]}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\left[2\,\mathrm{\ell n\,}x\cdot \frac{1}{x} \right]\cdot \cos 2x-\mathrm{\ell n^2\,}x\cdot \left[-2\,\mathrm{sen\,} 2x \right ]}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\,\mathrm{\ell n}(x)\cdot \frac{1}{x}\cdot \cos 2x+2\,\mathrm{\ell n^2\,}x\cdot \mathrm{sen\,} 2x}{\cos^2 2x}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\,\mathrm{\ell n}(x)\cdot \frac{1}{x}\cdot \cos 2x+2\,\mathrm{\ell n^2\,}x\cdot \mathrm{sen\,} 2x}{\cos^2 2x}\cdot \dfrac{x}{x}

\therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\,\mathrm{\ell n}(x)\cdot \cos 2x+2x\,\mathrm{\ell n^2\,}x\cdot \mathrm{sen\,} 2x}{x\cos^2 2x} \end{array}}


adjemir: Valeu, Lukio. Muito bom. Um abraço.Adjemir.
Lukyo: Por nada, colega! :-)
Perguntas interessantes