Question

Utilizando a integral por partes resolva:
∫×·sec²(x)dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x\tan(x)+\ln|\cos(x)|+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta integral utilizando a técnica de integração por partes, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int x\cdot\sec^2(x)\,dx$

Lembre-se: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$.

Como critério de escolha para $u$, temos a regra LIATE, que consiste em uma fila de prioridade que deve ser dada às funções: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Então, seja $u=x$ e $dv=\sec^2(x)\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$, para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx$.

Integramos a expressão em $dv$, para encontrarmos $v$:

$\displaystyle{\int dv=\int \sec^2(x)\,dx}$

Sabendo que $\dfrac{d(\tan(x))}{dx}=\sec^2(x)$ e que $\displaystyle{\int \dfrac{d(f(x))}{dx}=f(x)$, temos

$v=\tan(x)$

Assim, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int x\cdot\sec^2(x)\,dx=x\cdot \tan(x)-\int \tan(x)\,dx$

Nesta integral, reescreva $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$\displaystyle{x\cdot \tan(x)-\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx$

Faça uma substituição $t=\cos(x)$. Diferenciamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $dt$:

$t'=(\cos(x))'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=-\sin(x)\Rightarrow dt=-\sin(x)\,dx$

Multiplique ambos os lados por $(-1)$

$-dt=\sin(x)\,dx$

Veja que este elemento já está presente integral, logo teremos:

$\displaystyle{x\cdot \tan(x)-\int \dfrac{(-dt)}{t}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$ e a propriedade de sinais

$\displaystyle{x\cdot \tan(x)-\left(-\int \dfrac{dt}{t}\right)}\\\\\\\\ \displaystyle{x\cdot \tan(x)+\int \dfrac{dt}{t}$

Sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$, temos

$\displaystyle{x\cdot \tan(x)+\ln|t|+C$

Desfaça a substituição

$\displaystyle{x\cdot \tan(x)+\ln|\cos(x)|+C$

Este é o resultado desta integral.