Question

Utilizando a função deslocamento s(t) = -16t²+1000, que fornece a altura (em pés) de um objeto que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante t = a segundos é dada por V(a) = $\lim_{t \to a} \frac{S(a) - S(t)}{a - t}$ , se um trabalhador de construção derruba uma chave inglesa de uma altura de 1000 pés, com que velocidade a chave cairá após 5 segundos?

Answer 1

A questão pede para calcular a velocidade $V$ no instante $a=5.$ Pela definição, temos que

$V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{S(5)-S(t)}{5-t}\\ \\ \\ V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\left[-16\cdot 5^{2}+1\,000\right]-\left[-16t^{2}+1\,000 \right ]}{5-t}\\ \\ \\ V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-16\cdot 25+1\,000+16t^{2}-1\,000}{5-t}\\ \\ \\ V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-16\cdot 25+16t^{2}}{5-t}$


Colocando $(-16)$ em evidência, temos

$V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-16\cdot(25-t^{2})}{5-t}\\ \\ \\ V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-16\cdot(5+t)\cdot (5-t)}{5-t}$


Simplificando o fator comum $(5-t)$ no numerador e no denominador, temos

$V(5)=\underset{t \to 5}{\mathrm{\ell im}}\;-16\cdot(5+t)\\ \\ V(5)=-16\cdot(5+5)\\ \\ V(5)=-16\cdot 10\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}V(5)=-160\text{ p\'{e}s/s} \end{array}}$