Question

Utilizando a fórmula $S = 2\pi \int_{c}^{d}~x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} ~~dy$, a área da superfície de revolução em torno do eixoy, da curva dada por f(x) = 2x no intervalo 4≤ x ≤6 é:

favor conta completa.

resposta: 5√5 π u.a

Answer 1

Olha, eu fiz assim, vê se faz sentido pra você;
Eu vi esse $\frac{dx}{dy}$ e me lembrei da regra de substituição de integral.
Mas ai ele dá a equação que tem que ser integrada para poder achar a área, então ela tem que tá lá na fórmula S.
Por isso eu considerei que o X=2x Esse x vem da derivada que queremos fazer pra poder substituir; $\frac{dx}{dy}$ =2 e então dx=2dy.
Então vamos fazer ser possível esses números estarem na integral.
$2 \pi \int\limits^6_4 {x} \sqrt{1 + 2^2} \, dy$
$2 \pi \int\limits^6_4 {x \sqrt{5} } \,dy$
Como raiz de 5 agora não tem mais valores de x ele pode sair da integral.
$2 \pi \sqrt{5} \int\limits^6_4 {x} \, dy$ [/tex]
Para colocarmos algum valor na integral precisamos eliminá-lo do lado de fora para poder ser cancelado e ficar a mesma coisa, assim:
$2 \pi .\sqrt{5} .\frac{1}{4} \int\limits^6_4 {2x} \, 2dy$
Espero que tenha entendido, que eu coloquei 4 números na integral que podem ser cancelado com 1/4 que tem fora da integral. Agora substituindo
$2 \pi .\sqrt{5} .\frac{1}{4} \int\limits^6_4 {x} \, dx$
Porque x=2x e dx=2y
$2 \pi .\sqrt{5} .\frac{1}{4} .[ \frac{x^{1+1}}{1+1} ]_4^6$
E agora vamos finalmente aplicar os intervalos.
$2 \pi .\sqrt{5} .\frac{1}{4} .[ \frac{x^{2}}{2} ]_4^6 \\ 2 \pi . \sqrt{5} . \frac{1}{4} . [( \frac{6^2}{2}) - ( \frac{4^2}{2} )] \\ 2 \pi . \sqrt{5} . \frac{1}{4} . \frac{20}{2} \\ 2 \pi . \sqrt{5} . \frac{10}{4} \\ \frac{20 \pi \sqrt{5} }{4} \\ 5 \pi \sqrt{5} \\ 5 \sqrt{5} \pi$