Question

Utilizando a fórmula do binonimo de newton, calcule o desenvolvimento das expressões:

(x+y)^5

(2x+2y)^4

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Vamos começar entendendo do começo:

O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. A potência na forma de (a + b)ⁿ, com "a" e "b" pertencendo aos reais e "n" pertencendo aos naturais é chamada de binômio de Newton.

Vamos realizar uns cálculos básicos, para que possamos notar uma coisa.

$\begin{cases} 1) \: quando \: n = 0 \\ (a + b) {}^{0} = 1 \\ \\ 2) \: quando \: n = 1 \\ (a + b) {}^{1} = 1a + 1b \\ \\ 3) \: quando \: n = 2 \\ (a + b) {}^{2} = 1a {}^{2} + 2.a.b + 1b {}^{2} \\ \\ 4) \: quando \: n = 3 \\ (a + b) {}^{3} = 1a {}^{3} + 3.a {}^{2} .b + 3.a.b {}^{2} + b {}^{3} \\ \\ ......\end{cases}$

Note que os coeficientes que são os números que estão a frente de cada letra, formam o triângulo de Pascal e sabemos que o triângulo é escrito das seguintes formas:

$\begin{cases} 0 \rightarrow 1 \\ 1 \rightarrow 1 \: \: \: \: \: 1 \\ 2 \rightarrow1 \: \: \: \: \: 2 \: \: \: \: \: 1 \\ 3 \rightarrow 1 \: \: \: \: \: 3 \: \: \: \: \: 3 \: \: \: \: \: 1 \\ ..... \\ \\ ou \\ \\ 0 \rightarrow \binom{0}{0} \\ 1 \rightarrow \binom{1}{0} \: \: \binom{1}{1} \\ 2 \rightarrow \binom{2}{0} \:\: \binom{2}{1} \:\: \binom{2}{2} \\ 3 \rightarrow \binom{3}{0} \:\: \binom{3}{1} \: \: \binom{3}{2} \:\: \binom{3}{3} \\ ..... \end{cases}$

Reescrevendo as expressões do começo da explicação conforme os números do triângulo:

$\begin{cases}(a + b) {}^{0} \rightarrow \binom{0}{0} .a {}^{0} .b {}^{0} \\ \\ (a + b) {}^{1} \rightarrow \binom{1}{0} .a {}^{1} .b {}^{0} + \binom{1}{1}a {}^{0} .b {}^{1} \\ \\ ..... \end{cases}$

Surge então a fórmula do binômio de newton, que possui as seguintes formas:

$\begin{cases} \boxed{(a + b) {}^{n} = \sum^{n}_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^{p} \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ ou \\ \boxed{(a + b) {}^{n} = \binom{n}{0}a {}^{n}b {}^{0}+ \binom{n}{1}.a {}^{n - 1} b {}^{1}.... } \end{cases}$

Onde:

(n) → Número expoente do binômio.

(a) → Primeiro número do binômio

(b) → Segundo número do binômio

(∑) → Soma das combinações dos números binomiais.

Observe que os expoentes de "a" vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n.

O número binomial n sobre p, pode ser calculado através dessa fórmula de combinação simples:

$\boxed{\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n - p) !} }$

Sabendo de todas essas informações, vamos aplicar na nossa resolução:

Item a)

$\large \boxed{a) \: (x + y) {}^{5} } \\ \\ (x + y) {}^{5} = \binom{5}{0} .x {}^{5} .y {}^{0} + \binom{5}{1} .x {}^{5 - 1} .y {}^{1} + \binom{5}{2} .x {}^{5 - 2} .y {}^{2} + \binom{5}{3}. x {}^{5 - 3} .y {}^{3} + \binom{5}{4} .x {}^{5 - 4} .y {}^{4} + \binom{5}{5} .x {}^{5 - 5}.y {}^{5} \\ \\ (x + y) {}^{5} = 1.x {}^{5} + 5.x {}^{4}.y + 10x {}^{3} .y {}^{2} + 10x {}^{2}.y {}^{3} + 5x.y {}^{4} + 1.y {}^{5} \\ \\ \boxed{ (x + y) {}^{5} = x {}^{5} + 5x {}^{4} y + 10x {}^{3} y {}^{2} + 10x {}^{2}y {}^{3} + 5xy {}^{4} + y {}^{5} }$

Resposta ↑

Agora vou fazer uma breve explicação sobre os cálculos dos binômios

$\begin{cases} \binom{5}{0} = \frac{5 !}{0!(5 - 0)!} = \frac{5!}{0!5!}\frac{5.4.3.2.1}{1.5.4.3.2.1} = \boxed{1} \\ \\ \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5 - 1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5!}{1!.4!} = \frac{5.4.3.2.1}{4.3.2.1} = \boxed{5} \\ \\ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5.4.3!}{2!3!} = \frac{20}{2.1} = \frac{20}{2} = \boxed{10} \\ \\ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5.4.3!}{3!2!} = \frac{20}{2.1} = \frac{20}{2} = \boxed{10} \\ \\ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5 - 4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5.4!}{4!1!} = \frac{5}{1} = \boxed{5} \\ \\ \binom{5}{5} = \frac{5!}{5!} = \frac{5.4.3.2.1}{5.4.3.2.1} = \boxed{ 1 }\end{cases}$

Item b)

Para resolver o item b) vamos usar os mesmo princípios do item a).

$\large \boxed{b) \: (2x + 2y) {}^{4} } \\ \\ (2x + 2y) {}^{4} = \binom{4}{0} .(2x) {}^{4} .2y {}^{0} + \binom{4}{1} .(2x) {}^{3} .(2y) {}^{1} + \binom{4}{2} .(2x) {}^{2} .(2y) {}^{2} + \binom{4}{3} .(2x) {}^{1} .(2y) {}^{3} + \binom{4}{4} .(2x) {}^{0} .(2y ){}^{4} \\ \\ (2x + 2y) {}^{4} = 1.16x {}^{4} + 4.8x {}^{3} .2y + 6.4x {}^{2} .4y {}^{2} + 4.2x.8y {}^{3} + 1.16y {}^{4} \\ \\ \boxed{ (2x + 2y) {}^{4} = 16x {}^{4} + 64x {}^{3} y + 96x {}^{2} y {}^{2} + 64xy {}^{3} + 16y {}^{4} }$

Resposta ↑

Vamos entender os cálculos dos números binomiais:

$\begin{cases} \binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4 - 0)!} = \frac{4!}{0!4!} = \frac{4.3.2.1}{1.4.3.2.1} = \boxed{1} \\ \\ \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4 - 1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4.3!}{1.3!} = \frac{4}{1} = \boxed{4} \\ \\ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4.3.2!}{2!2!} = \frac{4.3}{2.1} = \frac{12}{2} = \boxed{6} \\ \\ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4.3!}{3!1!} = \frac{4}{1} = \boxed{4} \\ \\ \binom{4}{4} = \frac{4!}{4!} = \frac{4.3.2.1}{4.3.2.1} = \boxed{1} \end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta:

(2x+2y)^4

Explicação: