Question

Utilizando a forma da definição para calcular a integral∫_0^1▒x^3 +〖3x〗^2 dx encontramos como resultado :

Answer 1

Por meio de dois cálculos realizados, podemos concluir que essa integral é igual a 5/4.

Estamos interessados em calcular o valor da seguinte integral:

$\boxed{ \displaystyle\bf \int _0 ^ 1 x^3+3x^2dx}$

Para calcular o valor desta integral devemos usar a forma da definição, uma integral usando a definição deve ser calculada usando a seguinte expressão como auxílio:

$\boxed{\displaystyle \bf \int^b _a f(x) dx=\lim _{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f(a+k\Delta x)\Delta x}\qquad \rm{(i)}$

Onde a variável Δx pode ser calculada pela expressão: $\boxed{\bf \Delta x=\dfrac{b-a}{n}}$

Então, para calcular o valor de nossa integral usando a definição, devemos primeiro encontrar o valor da variável Δx e para encontrar o valor dessa variável devemos primeiro identificar as variáveis a e b, e para identificar essas variáveis usaremos a expressão (i). Comparando a expressão (i) com a nossa integral podemos concluir que o valor da variáveis são a=0 e b=1, então o valor da nossa variável Δx é igual a:

$\Delta x=\dfrac{1 - 0}{n}\\\\ \Delta x=\dfrac{1}{n}$

Calculando o valor da nossa integral pela definição para isso vamos comparar a expressão (i) com a nossa integral e fazendo a comparação podemos ver que a expressão que pode calcular esta integral é:

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(0+k\cdot\dfrac{1}{n}\right)\cdot \dfrac{1}{n}\\\\\\\ I=\lim _{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(\dfrac{k}{n} \right)\cdot \dfrac{1}{n}~\quad~\rm{(ii)}$

Vamos ver o resultado que vamos obter se avaliarmos nossa função quando x é igual à expressão k/n onde "k" é uma variável.

$f\left(\dfrac{k}{n}\right)= \left(\dfrac{k}{n}\right)^3+3\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\\\\\\ f\left(\dfrac{k}{n}\right)= \dfrac{k^3}{n^3}+3\dfrac{k^2}{n^2}\\\\\\\ \ f\left(\dfrac{k}{n}\right)= \dfrac{k^3}{n^3}+\dfrac{3 k^2}{n^2}$

Substituindo o valor que acabamos de obter na expressão (ii), fazendo isso obtemos a seguinte expressão:

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\sum^n _{k=1} \left(\dfrac{k^3}{n^3} +\dfrac{3 k^2}{n^2}\right)\cdot \dfrac{1}{n}\\\\\\\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\sum^n _{k=1} \left(\dfrac{k^3}{n^4} +\dfrac{3 k^2}{n^3}\right)$

Esta expressão pode ser um pouco complexa de resolver, pois temos que resolver uma soma e um limite ao infinito, mas na realidade essa expressão não é nada complicada, pois basta primeiro encontrar o valor da soma, então vamos incluir o soma entre parênteses para não nos confundir.

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\sum^n _{k=1} \dfrac{k^3}{n^4} +\dfrac{3 k^2}{n^3}\right)$

Para resolver esta soma podemos aplicar algumas propriedades que estas incluem, esta soma pode ser escrita como uma soma de somas, ou seja, esta expressão pode ser escrita como:

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\sum^n _{k=1} \dfrac{k^3}{n^4} +\sum^n _{k=1}\dfrac{3 k^2}{n^3}\right)$

Queremos encontrar o valor da nossa soma quando k for igual a 1 a n, então como só queremos avaliar a variável "k" as outras expressões ou operações podem ser tomadas como constantes e podem ser deixadas de fora da soma, fazendo isso obtemos:

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\sum^n _{k=1} \dfrac{1}{n^4}\cdot k^3+\sum^n _{k=1}\dfrac{3}{n^3} \cdot k^2\right) \\\\\\ \displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^4}\sum^n _{k=1} k^3+\dfrac{3}{n^3}\sum^n _{k=1} k^2\right)~\quad~\rm{(iii)}$

Resolvendo a expressão (iii):

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^4}\cdot\dfrac{ n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac{3}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+ 1) (2n+1)}{6}\right)\\\\\\ \displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\not\!\!n^2(n+1)^2}{\not\!\!n^4}+\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{\not\!\!n(n+1)(2n+1)}{\not\!\!n^3}\right)\\\\\\ \displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(n+1)^2}{n^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(n+1)(2n+1)}{n^2}\right)\\\\\\\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{ n^2+2n+1}{n^2} +\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n^2+3n+1}{n^2}\right)$

O resultado que acabamos de obter é o resultado da soma, portanto o resultado da soma deve ser calculado em um limite para o infinito.

$\displaystyle I=\lim _{n\to\infty}\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{ n^2+2n+1}{n^2} +\lim _{n\to\infty}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n^2+3n+1}{n^2}\\\\\\ \displaystyle I=\dfrac{1}{4} \lim _{n\to\infty}\dfrac{ n^2+2n+1}{n^2} +\dfrac{1}{2}\lim _{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n+1}{n^2}$

Resolvendo nosso limite:

$\displaystyle I=\dfrac{1}{4} \lim _{n\to\infty}\dfrac{ \frac{ n^2}{n^2}+ \frac{2n}{n^2}+ \frac{1}{n^2}}{ \frac{n^2}{n^2}} +\dfrac{1}{2}\lim _{n\to\infty}\dfrac{ \frac{2n^2}{n^2}+ \frac{3n}{n^2}+ \frac{1}{n^2}}{ \frac{n^2}{n^2}} \\\\\\ I =\dfrac{1}{4} \lim _{n\to\infty}\dfrac{ 1+ \frac{2}{\infty}+ \frac{1}{(\infty)^2}}{ 1} +\dfrac{1}{2}\lim _{n\to\infty}\dfrac{ 2+ \frac{3}{\infty}+ \frac{1}{(\infty)^2}}{ 1} \\\\\\ I =\dfrac{1}{4}\cdot1 +\dfrac{1}{2}\cdot 2\\\\\\ I=\dfrac{1}{4}+1\\\\\\ \boxed{\bf I=\dfrac{5}{4}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf {Resposta!!}$