Question

utilizando a forma canônica determine, caso existam, os zeros de cada uma da função

Answer 1

Boa noite, pra resolver esses itens através da forma canônica, devemos primeiramente completar quadrados. Vamos então a cada item:

a) f(x) = x² + 6x + 8, 6x é o dobro do primeiro termo, no caso x, pelo segundo termo, logo, 2.x.a = 6x => a = 6x/2x => a = 3. Logo, devemos somar e subtrair 3² = 9 para completar o trinômio quadrado perfeito. Assim,

f(x) = x² + 6x + 9 + 8 - 9 => f(x) = x² + 6x + 9 - 1 => f(x) = (x + 3)² - 1, para encontrar as raízes, se existirem, devemos fazer f(x) = 0, logo, (x + 3)² - 1 = 0 => (x + 3)² = 1. Essa é a forma canônica da equação acima. Resolvendo temos: (x + 3) = + - √1 = + - 1

x' + 3 = 1 => x' = 1 - 3 => x' = -2

x" + 3 = -1 => x" = -1 -3 => x" = -4

b) f(x) = x² - 4x + 7. Temos que 2x.a = -4x => a = -4x/2x => a = -2, mas (-2)² = 4, logo 4 deve ser somado e subtraido da expresão acima para tornar-se um trinômio do segundo grau. Logo, f(x) = x² - 4x + 4 + 7 - 4 => f(x) = x² - 4x + 4 + 3 => f(x) = (x - 2)² + 3. Fazendo f(x) = 0 temos, (x - 2)² + 3 = 0 => (x - 2)² = -3 => (x - 2) = + - √-3. Como não existe raiz quadrada de números negativos, logo, a função não possui zeros reais.

c) f(x) = x² - 3x + 2. Temos que 2xa = - 3x => a = - 3x/2x => a = -3/2, logo (-3/2) = 9/4, que somado e subtraido na função acima fica: f(x) = x² - 3x + 9/4 + 2 - 9/4 => f(x) = (x - 3/2)² - 1/4. Fazendo f(x) = 0 temos: (x - 3/2)² - 1/4 = 0 => (x - 3/2)² = 1/4 => x - 3/2 = + - √1/4 => x - 3/2 = + - 1/2

x' - 3/2 = 1/2 => x' = 1/2 + 3/2 => x' = 2

x" - 3/2 = - 1/2 => x" = - 1/2 + 3/2 => x" = 1

d) (f) =  x²/3 + 2x - 9, multiplicando ambos os lados por 3 temos

3f(x) = x² + 6x - 27, fazendo f(x) = 0 temos: 3.0 = x² + 6x -27 => x² + 6x - 27 = 0

Temos que 2xa = 6x => a = 6x/2x => a = 3, logo, 3² = 9. Assim temos que

x² + 6x + 9 - 27 - 9 = 0 => (x + 3)² - 36 = 0 => (x + 3)² = 36 => x + 3 = + - √36 => x + 3 = + - 6

x' + 3 = 6 => x' = 3

x" + 3 = -6 => x" = -9